【蓝桥杯】最大比例

题目描述

X星球的某个大奖赛设了M级奖励。每个级别的奖金是一个正整数。

并且，相邻的两个级别间的比例是个固定值。

也就是说：所有级别的奖金数构成了一个等比数列。比如：16,24,36,54 其等比值为：3/2

现在，我们随机调查了一些获奖者的奖金数。

请你据此推算可能的最大的等比值。

输入格式：
第一行为数字 N (0<N<100)，表示接下的一行包含N个正整数
第二行N个正整数Xi(Xi<1 000 000 000 000)，用空格分开。每个整数表示调查到的某人的奖金数额

要求输出：
一个形如A/B的分数，要求A、B互质。表示可能的最大比例系数

输入样例

3
1250 200 32

输出

25/4

思路

根据题目描述，随机调查的奖金是等比数列中的某项，那么这些奖金可能值是重复的，所以我们要对数据 先排序，后去重
再来研究一下等比数列

有这样一组等比数列：a₁， a₂， a₃ ，a₄ …… a_n-1 ，a_n

假设我们挑出来的奖金是：a₁ ，a_x ， a_y ，a_k （注：首项就可看作a₁，该序列已经排序去重）

我们要求奖金的最大比值，设为 q （等比且非递减，虽然题上没有说，但奖金怎么非递减呢）

那么根据等比数列的性质，a_x = a₁ × q^x，a_y =a₁× q^y ，a_k = a₁× q^k

那么他们之间两两相邻的比值为 q^x ，q^y-x ，q^k-x-y
q^x ，q^y-x ，q^k-x-y 它们之间有一个性质：若 q 为分数，若q[ i ] > q[ j ] ，那么q[ i ] 的分子一定大于q[ j ] 的分子，q[ i ] 的分母也大于 q[ j ] 的分母；若 q 为整数，q[ i ]分子还是比q[ j ]大（因为奖金等比且非递减，虽然题上没有说，但奖金怎么递减呢）
所以对于求出的 q^x ，q^y-x ，q^k-x-y 可以根据此性质从按照分子的大小从小到大排序。

对于求出的序列 q 集合，假设幂次为 k_i ,那我们就是要求出 k 的最大公约数。q 和 k 都是未知数。我们设 q 中的两个数为 a,b 。对于a，b 我们要求出一组解。
Q(a , b) => Q (q^x , q^y) ==> q^gcd(x,y) == 更相减损术 ==>q ^gcd(x,y-x) ==> Q(a,b/a) { b>a }

long long qgcd(long long a,long long  b){if(a==b)return a;else{return qgcd(min(b/a,a),max(b/a,a));}}

#include<stdio.h>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<queue>
struct node{long long x,y;// x为 分子 ，y 为分母
};
long long getGcd(long long a,long long b){return b==0?a:getGcd(b,a%b);
}bool comp(node a,node b) {return a.x<b.x;
}
using namespace std;
int main()
{int n;scanf("%d",&n);;long long arr[10010];for(int i=0;i<n;i++){scanf("%lld",&arr[i]);}//去重操作 sort(arr,arr+n);vector<long long>v;v.push_back(arr[0]); for(int i=1;i<n;i++){if(v[v.size()-1]!=arr[i])v.push_back(arr[i]);}vector<node>q;node temp;for(int i=1;i<v.size();i++){ //求出比例 long long gcd = getGcd(v[i],v[i-1]);temp.x=v[i]/gcd;temp.y=v[i-1]/gcd;q.push_back(temp);}sort(q.begin(),q.end(),comp);long long minx=q[0].x;//q是分数 分子分母决定大小  q为整数 分子同样也能决定大小 ，分母为 1  long long x=q[0].x,y=q[0].y;for(int i=1;i<q.size();i++){if(minx>q[i].x/q[i-1].x&&q[i].x/q[i-1].x!=1){ //如果分子相同 那么分母也相同 否则不等比 x=q[i].x/q[i-1].x;y=q[i].y/q[i-1].y;}}printf("%lld/%lld",x,y);return 0;
}

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