[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.4

把满足下述条件 (1) 和 (2) 的实函数 $f$ 的全体记作 $F$:

(1). $f(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上连续, 并且非负;

(2). $f(0)=0$, $f(1)=1$. 试证明: $\dps{\int_{f\in F}\int_0^1 f(x)\rd x=0}$, 但不存在 $\varphi\in F$, 使 $\dps{\int_0^1 \varphi(x)\rd x=0}$. (厦门大学)

证明: 取 $$\bex F\ni f_n(x)=\sedd{\ba{ll} 0,&0\leq x\leq 1-\frac{1}{n}\\ nx-n+1,&1-\frac{1}{n}\leq x\leq 1 \ea}, \eex$$ 则 $$\bex \int_0^1 f_n(x)\rd x=\frac{1}{2n}\to 0\ (n\to\infty), \eex$$ 而 $$\bex \inf_{f\in F}\int_0^1 f(x)\rd x=0. \eex$$ 但 $$\beex \bea f\in F&\ra f(1)=1\ra \exists\ \delta\in(0,1),\st f(x)>\frac{1}{2},\ x\in [1-\delta,1]\\ &\ra \int_0^1 f(x)\rd x\geq \int_{1-\delta}^1 f(x)\rd x>\frac{\delta}{2} >0. \eea \eeex$$

转载于:https://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/4527452.html

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.4相关推荐

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.5
证明: 若删去调和级数中所有分母含有数字 $9$ 的项, 则新级数收敛, 且和小于 $80$. 证明: 对 $m=1,2,\cdots$, $[10^{m-1},10^m)$ 中的自然数的十进制表示中 ...
[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.5.8
需要全部的解答, 请 http://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/3527416.html 设 $f(x)$ 在 $[a,\infty)$ 上可微; 且 $x\to\inf ...
[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.20
设 $a>0$, 函数 $f(x)$ 在 $[0,a]$ 上连续可微, 证明: $$\bex |f(0)|\leq \frac{1}{a}\int_0^a |f(x)|\rd x+\int_0^ ...
[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.21
设数 $a>0$, $\sed{p_n}$ 是一个数列, 并且 $p_n>0$, $p_{n+1}\geq p_n$. 证明: 级数 $$\bex \vsm{n}\frac{p_n-p_{ ...
[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.13
证明: 如果在 $(-\infty,+\infty)$ 上的连续函数 $f(x)$ 满足 $$\bex \int_x^{x+1}f(x)\rd t=0, \eex$$ 那么 $f(x)$ 是周期函数. ...
[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.27
求 $\dps{\lim_{t\to +\infty}\sex{\frac{1}{t} +\frac{2t}{t^2+1^2}+\frac{2t^2}{t^2+2^2}+\cdots+\frac{2t ...
[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.23
设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, $f(x)>0$. 又 $\dps{F(x)=\int_a^x f(t)\rd t+\int_b^x \frac{1}{f(t)}\rd t} ...
[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.15
$[a,b]$ 上的连续函数列 $\varphi_1,\varphi_2,\cdots,\varphi_n,\cdots$ 满足 $\dps{\int_a^b \varphi_n^2(x)\rd x= ...
[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.5.3
求 $\dps{\int_0^\infty f(x^p+x^{-p}) \frac{\ln x}{1+x^2}\rd x}$ (函数 $f(x)$ 连续) 解答: $$\beex \bea \mbox ...
[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.14
设 $f(x)$ 处处连续, $\dps{F(x)=\frac{1}{2\delta}\int_{-\delta}^\delta f(x+t)\rd t}$, 其中 $\delta$ 为任何正数. 证 ...

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.4

[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.3.4相关推荐

最新文章

热门文章