3D数学基础之C#实现矩阵变换

Never put off what you can do today until tomorrow.

从刚开始学unity各种组件，C#基础，API，到现在的学习Cg语言，学习shaderLab
用了很长时间在细节上，有的时候一些看似非常基础的概念，大致了解下怎么用后，如果不知道其原理，那么，我认为是不可能真正的学会一种技术的。

本节就来实现矩阵与向量之间的计算，，我们将自己实现向量的类和矩阵的类，这也就代表着，我们必须实现基本的Mul功能

tools：visual studio 2015 建议安装插件：resharper.

step1
首先，关于C#语法，以及内置函数，这里不会解释的，大家可以搜索API或者MSDN
为了不在代码处做过多数学赘述，第一步将会介绍矩阵的几何变换（3种）

矩阵的平移变换Translation

将三维空间中的一个点移动到另一个点，随便Google了一张图

其中平移变换的结果为等号左侧，平移变换的计算在等号右侧，回想下矩阵乘法的运算规则
这里的运算为

X偏移量 = (X x 1 + Y x 0 + 1 x Tx) = X + Tx 也就是在X上的偏移量
同理： Y的偏移量 = （X x 0 + Y x 1 + 1 x Ty） = Y + Ty 也就是在Y上的偏移量
算到这里大家应该明白为什么三维向量和矩阵的运算，要用到Vector4了，因为w = 1方便我们跟矩阵做乘法。

矩阵的缩放变换
将模型放大或者缩小，本质也是对模型上每个顶点进行放大和缩小（顶点坐标值变大或变小）

缩放变换跟平移变换没差的，还是找个图把公式看下

矩阵的旋转变化
这个是本系列中会用到的，很重要，这里只说绕坐标轴旋转，来源Google图片

绕X轴旋转：顶点的X坐标不变，y坐标和z坐标绕X轴旋转θ度，旋转的正方向为顺时针方向，也就是逆时针是正方向，从图中可以看出，X的旋转结果 = X x 1 + Y x 0 + Z x 0 + 1 x 0 = X 这里可以解释绕X轴旋转X轴的顶点坐标不变
Y的旋转结果：X x 0 + Ycos(a) - Zsin(a) + 0 = Ycos(a) - Zsin(a) Z轴的旋转同理，最后，W = 1.
这是绕X轴旋转的公式

上面的分别是绕Y轴旋转和绕Z轴旋转的公式。

刚才讲了公式，并没有写公式的推导（懒/(ㄒoㄒ)/~~）

Ok,知道了矩阵的几何变换，下面进入实战

step2
接下来进入vs2015 新建c#窗体应用程序
我认为还是有必要提一下，本篇只是对3D数学中矩阵的计算加深理解，并不想重复造轮子

（1）首先要实现矩阵和向量的之间的计算，我们要先实现向量类，在资源管理器处右键新建类

 class Vector4{public double x, y, z, w;public Vector4(){}public Vector4(double x,double y,double z,double w){this.x = x;this.y = y;this.z = z;this.w = w;}//用来copy外部声明的向量public Vector4(Vector4 vector4){this.x = vector4.x;this.y = vector4.y;this.z = vector4.z;this.w = vector4.w;}}

这个向量类没什么解释的，简单的构造函数重载

（2）接下来实现矩阵类，一样右键新建类

//16个元素class matrix4X4{private double[,] ptsDoubles;//无参构造函数，Initializepublic matrix4X4(){ptsDoubles = new double[4, 4];}//索引器,帮助我们通过传递索引，便可轻松拿到数组每一个元素public double this[int i, int j]{get { return ptsDoubles[i - 1,j - 1]; }set { ptsDoubles[i - 1,j - 1] = value; }}//实现矩阵的乘法规则，这个没啥难的，大家复习下乘法规则就明白了，不要被三个for吓到public matrix4X4 MulMatrix4X4(matrix4X4 m){matrix4X4 newMatrix4X4 = new matrix4X4();for (int w = 0; w <= 4; w++)for (int h = 0; h <= 4; h++)for (int n = 0; n <= 4; n++){newMatrix4X4[w, h] += this[w, n] * m[n,h];}return newMatrix4X4;}//向量与矩阵的乘法运算,返回一个新的向量public Vector4 MulVector4(Vector4 v){Vector4 newVector4 = new Vector4();newVector4.x = v.x * this[1, 1] + v.y * this[2, 1] + v.z * this[3, 1] + v.w * this[4, 1];newVector4.y = v.x * this[1, 2] + v.y * this[2, 2] + v.z * this[3, 2] + v.w * this[4, 2];newVector4.z = v.x * this[1, 3] + v.y * this[2, 3] + v.z * this[3, 3] + v.w * this[4, 3];newVector4.w = v.x * this[1, 4] + v.y * this[2, 4] + v.z * this[3, 4] + v.w * this[4, 4];return newVector4;}}

实现了4x4矩阵的类，该注释的地方都解释了，不明白的私信吧，这里需要注意的是，在c#里或者unity封装好的矩阵里，应该不会用这么简单的方法来定义矩阵，只是加深理解的作用

（3）接下来实现三角形的3D变换，新建Triangle3D类

    class Triangle3D{private Vector4 a, b, c;public Vector4 A, B, C;public Triangle3D() { }public Triangle3D(Vector4 a,Vector4 b,Vector4 c){//这里面可以回想一下vector4类里的copy函数，其实就是做一个新的引用this.A = this.a = new Vector4(a);this.B = this.b = new Vector4(b);this.C = this.c = new Vector4(c);}//三角形利用矩阵(m)的乘法进行变换,其实变换的就是顶点public void Transfrom(matrix4X4 m){//这里新声明了私有的向量，对应A,B,C//如果在原有变量上修改，那么就会改变原有变量的引用空间this.a = m.MulVector4(this.A);this.b = m.MulVector4(this.B);this.c = m.MulVector4(this.C);}//绘制三角形到2D窗口，其实放在unity editor里实现会更加easypublic void Draw(Graphics graphics){graphics.TranslateTransform(300,300);graphics.DrawLines(new Pen(Color.Red,2),this.Get2DPointarr());}private PointF[] Get2DPointarr(){//想要在2D平面画出三角形，必须首尾连接PointF[] arr = new PointF[4];arr[0] = Get2DPointF(this.a);arr[1] = Get2DPointF(this.b);arr[2] = Get2DPointF(this.c);arr[3] = arr[0];return arr;}//在二维平面定义点private PointF Get2DPointF(Vector4 v){PointF p = new PointF();p.X = (float)(v.x / v.w);p.Y = (float)(v.y / v.w);return p;}}

//接下来是最后的form窗口

//如果对矩阵计算熟悉些的话,这个Form窗体程序还是很好理解的//怎么打开这个事件函数  这个 就不截图了吧。。public partial class Form1 : Form{private int a = 0;private Triangle3D triangle3D;private matrix4X4 m_Scale;              //缩放矩阵private matrix4X4 m_rotate;             //旋转矩阵private matrix4X4 m_view;               //摄像机矩阵private matrix4X4 m_Projection;         //视图矩阵//这里面所有的矩阵计算都是根据上面的乘法规则public Form1(){InitializeComponent();m_rotate = new matrix4X4();m_Scale = new matrix4X4();m_Scale[1, 1] = 250;m_Scale[2, 2] = 250;m_Scale[3, 3] = 250;m_Scale[4, 4] = 1;m_view = new matrix4X4();m_view[1, 1] = 1;m_view[2, 2] = 1;m_view[3,3] = 1;m_view[4, 3] = 250;m_view[4, 4] = 1;m_Projection = new matrix4X4();m_Projection[1, 1] = 1;m_Projection[2, 2] = 1;m_Projection[3, 3] = 1;m_Projection[3,4] = 1.0 / 250;}private void Form1_Load(object sender, EventArgs e){//w一定要是1，然后跟矩阵相乘才能进行正常的变换Vector4 a = new Vector4(0,-0.5,0,1);Vector4 b = new Vector4(0.5,0.5,0,1);Vector4 c = new Vector4(-0.5,0.5,0,1);triangle3D = new Triangle3D(a,b,c);triangle3D.Transfrom(m_Scale);}//然后可以开始绘制窗体事件private void Form1_Paint(object sender, PaintEventArgs e){triangle3D.Draw(e.Graphics);}//这个函数是通过time空间添加进来的，目的是随着时间的推移，顶点也跟着变换private void timer1_Tick(object sender, EventArgs e){  //现在是角度a += 2;           //计算出弧度double angle = a / 360.0 * Math.PI;  //矩阵的几何变换m_rotate[1, 1] = Math.Cos(angle);m_rotate[1, 3] = Math.Sin(angle);m_rotate[2, 2] = 1;m_rotate[3, 1] = -Math.Sin(angle);m_rotate[3, 3] = Math.Cos(angle);m_rotate[4, 4] = 1;matrix4X4 m = m_Scale.MulMatrix4X4(m_rotate);m = m.MulMatrix4X4(m_view);m = m.MulMatrix4X4(m_Projection);triangle3D.Transfrom(m);//重绘this.Invalidate();}}

这样就可以实现一个三角形在空间视图进行3D旋转

如果看完很蒙，可能是我表达的不够仔细，这个程序是我在网上找的，当时对矩阵和向量的计算一点都不了解，看完这个感觉很爽嗒~

如果对整个winform程序不理解不了，那我建议大家可以试着先实现上面的vector4 和 matrix4x4 相信你会有所收获的

最后推荐大家一个vs插件：resharper，以前只支持.net，现在也支持c++了，我之所以在上述程序中没解释的那么详细，就是因为它，它的代码提示功能太强了（中文的提示），当然它的功能还有很多
缺点：太胖啦！！！

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