置信区间：

置信区间求解步骤：

置信区间求解：

总体均值的置信区间：

总体的标准差已知:

总体的标准差未知:

样本容量的确定

总体比率的置信区间

样本容量的确定

置信区间：

通过点估计量加减一个边际误差值，来计算区间估计，均值落入这一区间具有特点的概率。目的是为了得出点估计量与总体参数的接近程度

置信区间求解步骤：

选择总体统计量——用于构建置信区间的总体统计量
求出其抽样分布
决定置信水平——选择的区间包含总体统计量的概率
求出置信区间的上下限

置信区间求解：

总体均值的置信区间：

总体的标准差已知:

公式1：

X拔为样本均值；
δ为总标准差，抽样前可以根据大量的历史记录估计总体标准差，可以看作标准差已知；
n为样本容量；
确定置信系数，通常置信系数为1-a=0.95（或0.99），即置信区间有95%（99%）的概率包含总体均值；
根据标准正态概率表，查询1-a=0.95对应的Z值，但由于需要计算上限和下限，故需要查询a/2水平下的Z，即Za/2。

注：

1.总体服从正态分布，则上图中公式给出的置信区间实准确的，同时样本容量n可大可小；

2.总体不服从正态分布，则上图中公式给出的置信区间是近似的，同时样本容量n需要很大；

3.绝大部分样本容量n>=30即可

4.若总体分布不服从正态分布但大致对称，样本容量n至少为15时，置信区间才是一个好的近似

总体的标准差未知:

公式2：与公式1类似，不做单独说明

注：该图出自深入浅出统计学，置信区间计算公式中的C与公式1中的Za/2计算方式一致，只是不同书籍表达方式不同

公式3：

适用条件：

δ^2未知，样本容量可大可小；

公式说明：

X拔为样本均值；
S为样本标准差，抽样前可以根据大量的历史记录估计总体标准差，可以看作标准差已知；
n为样本容量；
确定置信系数，通常置信系数为1-a=0.95（或0.99），即置信区间有95%（99%）的概率包含总体均值；
根据t分布概率表，查询1-a=0.95、自由度为n-1对应的t值，但由于需要计算上限和下限，故需要查询a/2水平下的t值，即ta/2。

注：.t分布依赖称为自由度的参数，当样本自由度不同时（如1，2，3....）有且仅有唯一的t分布概率与之相应

补充：样本标准差S公式

关于标准正态分布与t分布差别的讨论：

如图所示，随着自由度的增加，t分布与标准正态分布之间的差距越来越小。

注：

1.总体服从正态分布，则上图中公式给出的置信区间实准确的，同时样本容量n可大可小；

2.总体不服从正态分布，则上图中公式给出的置信区间是近似的，同时样本容量n需要很大；

3.绝大部分样本容量n>=30即可

4.若总体分布不服从正态分布但大致对称，样本容量n至少为15时，置信区间才是一个好的近似

5.若总体分布严重偏斜或者包含异常点，建议将样本容量增加到50或者更大？？？？？

样本容量的确定

公式4：

E代表希望达到的边际误差，Za/2,总体标准差，样本容量共同决定边际误差

通过公式变型，得到计算样本容量的公式：

注：该公式要求总体标准差必须已知

总体标准差未知处理办法：

根据历史数据计算总体标准差的估计值；
选取初始样本，以初始样本的标准差作为总标准差的估计值；
估计总体的最大值和最小值，极差除以4作为总体标准差。

总体比率的置信区间

根据中心极限定理，当np>=5和n(1-p)>=5，P的抽样分布近似服从正态分布

公式5：

P拔为样本比例；
n为样本容量；
确定置信系数，通常置信系数为1-a=0.95（或0.99），即置信区间有95%（99%）的概率包含总体均值；
根据标准正态概率表，查询1-a=0.95对应的Z值，但由于需要计算上限和下限，故需要查询a/2水平下的Z，即Za/2。

样本容量的确定

同理公式4的推导过程：

由于抽样前样本比例P值未知，故需要估计一个P*来代替P

P*的估计方法：

1.利用历史数据的样本比例

2.选取一个初始样本，以初始样本的样本比例P1作为P*

3.合理猜测

4.上述均不适用时，取P*=0.5

原因如下表：P*（1-P*）数值最大，进而使样本容量尽量大

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