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橘猫吃不胖：《深入浅出统计学》-读书笔记-正态分布的应用​zhuanlan.zhihu.com

《深入浅出统计学》，第九章，再谈正态分布的应用

上一篇提到的都是单一连续变量，即只有一个变量X，如果有两个变量X、Y呢？

小栗子：

假设，新娘和新郎的体重都符合正态分布，新娘的体重符合N(150,400)，新郎的体重符合N(190,500)，体重单位是磅
现在要有一款过山车最大载重380磅，给新娘和新郎坐，根据已知的数据，求出新娘和新郎综合体重不超过这个重量的概率是多少？

假设，新娘的体重为X~N(150,400)，新郎的体重为Y~N(190,500)

X ,Y 都符合正态分布，我们现在要求的其实是X+Y

身高和体重都属于连续数据，也都符合正态分布，体重相加之后依然是体重，是连续数据，所以也是符合正态分布的，即X+Y ~N(?,?)

X+Y~N(

)

我们已知X、Y的

，可以套用公式

E(X+Y)=E(X)+E(Y)

Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)

类似的，如果是X-Y

这里有一个前提，是X，Y是独立变量

如果两个变量护卫独立变量，则它们相互之间对对方的概率没有影响

所以，最后X+Y~N(340,900)

我们要求的其实是P(X<380)，回顾下上一篇的内容，我们要进行标准化

Z=

X=380的标准分为4/3

P(Z<1.33)，查表可得=0.9082

练习题：

题目和上面很类似，男性身高X~N(71,20.25)，女性身高Y~N(64,16)

我们要看的是男子比女子高5英寸的概率，所以就是求X-Y的分布

X-Y~N(7,36.25)

要求的就是P(X>5)的概率，先把5转成标准分-0.33

即，P(Z>-0.33)的概率，也就是也就是P(Z<0.33)的概率，查表可得，=0.6293

新的问题，假设有一辆轿车，总载重量为800磅，一个成年人的体重分布为：
X~N(180,625)
如何计算4位成年人的综合体重低于800磅的概率呢？

这里涉及到一个转换，一个是独立观察结果，一个是线性变换，我们先来看下这两种情况该如何计算

如果数量发生变化，则所面对的是独立变量；如果基本数据发生变化，则所面对的是变换

• 线性变换

因为题目中说是4位成年人，所以可以当成是4X

线性变换描述的是概率分布中的数值在大小方面的基本变化，那么4X就是对X进行aX+b变换的结果，其中a=4，b=0，这里的4X描述的是一个成年人体重放大四倍后的结果，体重变了，但是成年人的数目不变

所以线性变换其实不适用这里的场景，因为我们要计算的是4个成年人的体重，而不是一个成年人体重翻4倍

不管怎样，线性变换是怎么做的呢？

假定有一个X的线性变换，其形式为aX+b，其中，X~N(

)，由于X符合正态分布，于是aX+b也属于正态分布

对于期望和方差，我们也可以带入转换

E(aX+b) = aE(X)+b

E(X)=

E(aX+b) = a

+b

Var(aX+b) =

Var(X)=

Var(aX+b) =

aX+b~N(

)

• 独立观察结果

上面题目的场景，就符合独立观察结果，因为我们要看4个成年人的独立观察结果的概率

每个成年人都是一个独立观察结果，我们需要计算出X的4个独立观察结果的概率分布

同样的带入公式

E(

) = nE(X)

Var(

)=nVar(X)

~N(

)

现在，我们把这个公式，带入到题目中，看一下

一个成年人的体重为X~N(180,625)

4个成年人

~N(720,2500)

4个成年人，体重小于800磅的概率P(X<800)

同样需要做标准化P(Z<

=1.6)

查表，得P(Z<1.6)=0.9452

本篇使用的几个公式：