2.2 　字母表和符号串的基本概念

2.2 字母表和符号串的基本概念

2.2.1 字母表和符号串

字母表
字母表是元素的非空有穷集合。

例如, Σ = {a , b , c }。
根据字母表的定义,Σ 是字母表,它由 a , b , c 3 个元素组成。
需要注意的是,字母表中至少包含一个元素。字母表中的元素,可以是字母、数字或其他符号。
例如,Σ’ = { 0 , 1 }是一个字母表,由 0 和 1 两个元素组成。

符号(字符)
字母表中的元素称为符号,或称为字符。

例如,前述例子中 a ,b , c 是字母表 Σ 中的符号; 0 和 1 是字母表 Σ’ 中的符号。

符号串(字)
符号的有穷序列称为符号串。
例如,设有字母表 Σ = {a , b , c },则有符号串 a , b , ab , ba , cba , abc …
符号串总是建立在某个特定字母表上的且只能由字母表上的有穷多个符号组成。需要指出的是,符号串中符号的顺序是很重要的,如 ab 和 ba 是字母表 Σ 上的两个不同的符号串。不包含任何符号的符号串,称为空符号串,用 ε 表示,即空符号串由 0 个符号组成,其长度 | ε |=0 。

2.2.2 符号串的运算

符号串的连接
设 x 和 y 是符号串,则串xy称为它们的连接,即xy是将 y 符号串写在 x 符号串之后得到的符号串。
例如,设 x = abc ,y =10 a ,则
xy= abc 10 a ,
yx =10aabc 。
注意:对任意一个符号串 x ,我们有 εx = xε = x 。
集合的乘积

设 A 和 B 是符号串的集合,则 A 和 B 的乘积定义为
AB = {xy| x ∈ A , y ∈ B }

例如,设 A = {a , b }, B = { c , d },则 AB = { ac , ad , bc , bd }。集合的乘积是满足于 x ∈ A ,y ∈ B 的所有符号串xy所构成的集合。

由于对任意的符号串 x ,总有 εx = xε = x ,所以,对任意集合 A ,有{ε } A = A { ε } = A
特别需要指出的是,ε 是符号串,不是集合,而{ ε }表示由空符号串 ε 所组成的集合,但这样的集合不是空集合 Ø = {}。

符号串的幂运算

设 x 是符号串,则 x 的幂运算定义为
x0= ε
x1= x
x2= xx
…
xn= xx … x= xxn -1 (n >0 )
例如,设 x = abc ,则
x0= ε
x1= abc
x2= xx = abcabc
…

集合的幂运算
设 A 是符号串的集合,则集合 A 的幂运算定义为
A0= { ε }
A1= A
A2= AA
…
An= AA … A= AAn -1 (n >0 )

例如,设 A = {a , b },则
A0= { ε }
A1= { a , b }
A2= AA = { aa , ab , ba , bb }
A3= AAA = A2 A= { aaa , aab , aba , abb , baa , bab , bba , bbb }
…

集合 A 的正闭包 A + 与闭包 A *
设 A 是符号串的集合,则 A 的正闭包 A + 和 A 的闭包 A * 定义为
A + = A1∪ A2∪ … ∪ An …
A * = A0∪ A1∪ A2∪ … ∪ An …= { ε } ∪ A+

例如,设 A = {a , b }则
A + = { a , b , aa , ab , ba , bb , aaa , aab ,…}
A * = { ε , a , b , aa , ab , ba , bb , aaa , aab ,…}
可见,集合 A 的正闭包表示 A 上元素 a ,b 构成的所有符号串的集合,集合 A 的闭包比集合A 的正闭包多含一个空符号串 ε 。

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