算法基础11 —— 树入门(二叉树的遍历以及构造 + 普通树转换成二叉树 + 例题 + 二叉树的一些操作)

字符二叉树的遍历

对于以上二叉树
先序遍历为(根左右) : ABCDEFG
中序遍历为(左根右) : CBEDAFG
后序遍历为(左右根) : CEDBGFA
层序遍历：(从左往右、从上往下) ABFCDGE

以先序次序输入以上二叉树：
ABC##DE###F#G##

代码实现遍历操作：

#include <iostream>
#include <queue>
using namespace std;typedef struct node
{char data;struct node *lchild;struct node *rchild;
}BTNode,*tree;
tree root = NULL;//按照先序次序输入二叉树的结点,bt为指向根结点的指针,建树需要&
void pre_crt(tree &bt)
{char ch;ch = getchar();if (ch != '#'){bt = new node;//建立根结点bt -> data = ch;pre_crt(bt -> lchild);//建左子树pre_crt(bt -> rchild);//建右子树}else bt = NULL;
}void DLR(tree bt)
{if (bt == NULL) return;//先序遍历(根左右),遍历树不需要&cout << bt -> data;DLR(bt -> lchild);DLR(bt -> rchild);
}void LDR(tree bt)
{if (bt == NULL) return;//中序遍历(左根右)LDR(bt -> lchild);cout << bt -> data;LDR(bt -> rchild);
}void LRD(tree bt)
{if (bt == NULL) return;//后序遍历(左右根)LRD(bt -> lchild);LRD(bt -> rchild);cout << bt -> data;
}//层次遍历,传入根结点
void BTLeversearch(tree bt)
{queue<tree> q;//tree指的是指针,即队列中存储指针if (bt == NULL) return;q.push(bt);//根结点入队while (!q.empty())//队列非空{tree head = q.front();//获取队头元素cout << head -> data;if (head -> lchild) q.push(head -> lchild);if (head -> rchild) q.push(head -> rchild);q.pop();}
}int main()
{pre_crt(root);//创建DLR(root);//先序遍历cout << endl;LDR(root);//中序遍历cout << endl;LRD(root);//后序遍历cout << endl;BTLeversearch(root);cout << endl;return 0;
}

输入
ABC##DE###F#G##
输出
ABCDEFG
CBEDAFG
CEDBGFA
ABFCDGE

二叉树的构造

已知结点的先序序列为ABDGEHCF，中序序列为GDBHEACF。试构造出二叉树。
方法： 如果已知一棵二叉树的先序或者后序序列，就可以首先确定根结点(第一个或者最后一个结点)，再根据中序序列确定左右子树如何分布。对于每棵子树，反复的从先序或者后序序列中找出根结点… …
【对于上例，二叉树的根结点为A】
构造出的二叉树如下：

普通树转换成二叉树

二叉树的操作和应用更广泛，在实际使用时，我们经常把普通树转换成二叉树进行操作。如何转换呢？一般方法如下：

第一步：将树中每个结点除了最左边的一个分支保留外，其余分支都去掉；
第二步：从最左边结点开始画一条线，把同一层上的兄弟结点都连起来；
第三步：以整棵树的根结点为轴心，将整棵树顺时针旋转45度。

举例：
下图是一棵普通的树

经过第一步之后，树变为如下形态：

经过第二步之后，树变为如下形态：
注意：只连接兄弟结点即可，故六号结点和七号结点不需要连接

经过第三步之后，树变为如下二叉树形态：

几道例题

例1.一棵完全二叉树的结点总数为18，其叶结点数为©
A.7
B.8
C.9
D.10
解：对于n层二叉树，其最多有2^n - 1个结点。由2 ^ n - 1 = 18，2 ^ 4 - 1 = 15 < 18，2 ^ 5 - 1 = 31 > 18，故n等于5，5层二叉树画图即可。不难发现，有9个叶子结点

例2.对任何一棵二叉树T，设n0、n1、n2分别是度数为0、1、2的顶点数，则下列判断中正确的是 (A)
A.n0 = n2+1
B.n1 = n0+1
C.n2 = n0+1
D.n2 = n1+1
送分题：性质的复习

例3.某二叉树的前序序列和后序序列正好相反，则该二叉树一定是 (B)的二叉树。
A.空或只有一个结点
B.高度等于其结点数
C.任一结点无左孩子
D.任一结点无右孩子
解法一：已知前序序列和后序序列相反

若去掉左子树，DLR=DR，LRD=RD，满足条件
若去掉右子树，DLR=DL，LRD=LD，满足条件
C、D中带有一定二字，故排除C、D，A可以直接排除

解法二：对于下面的两棵二叉树，其先序遍历和后序遍历序列均相反，故C、D均可排除。但其都满足高度等于其结点数，故选B

先序遍历：1234
后序遍历：4321

先序遍历：1234
后序遍历：4321

例4.一个二叉树的先序遍历结果和中序遍历结果相同，则其所有非叶子节点必须满足的条件是(B)
A.只有左子树
B.只有右子树
C.节点的度为1
D.节点的度为2
解：
与上题类似，已知先序遍历和中序遍历相同，即DLR=LDR

若去掉右子树(只有左子树)，则DL=LD，先序遍历和中序遍历相反，故排除A
若去掉左子树(只有右子树)，则DR=DR，先序遍历和中序遍历相同，故选B

例5.下图为一个二叉树，请选出以下不是遍历二叉树产生的顺序序列的选项(BD)
A. ABCDEFIGJH
B. BDCAIJGHFE
C. BDCAIFJGHE
D. DCBJHGIFEA

解：
先序序列(根左右)：ABCDEFIGJH
中序序列(左根右)：BDCAIFJGHE
后序序列(左右根)：DCBIJHGFEA

例6.中缀表达式A-(B+C/D)*E的后缀形式是(D)
A.AB-C+D/E*
B.ABC+D/-E*
C.ABCD/E*+-
D.ABCD/+E*-
提示：后缀表达式的操作符在操作数的后面

例7.中缀表达式1-(2+3)的前缀形式是(A)
A.-1+23
B.-12+3
C.-12+3
D.-+123
提示：前缀表达式的操作符在操作数的前面

二叉树的一些操作

求二叉树结点的个数
求二叉树叶子结点的个数
求二叉树的深度
判断一个结点是否在二叉树中
求第k层结点的个数

代码实现：

#include <iostream>
#include <queue>
using namespace std;typedef struct node
{char data;struct node *lchild;struct node *rchild;
}BTNode,*tree;
tree root = NULL;//先序次序建树
void pre_crt(tree &bt)
{char ch;ch = getchar();if (ch != '#'){bt = new node;bt -> data = ch;pre_crt(bt -> lchild);pre_crt(bt -> rchild);}else bt = NULL;
}//二叉树结点的个数
//二叉树结点的个数=左子树结点个数+右子树结点个数+1 (1为根结点)
int BTNodesize(tree bt)
{if (bt == NULL) return 0;return BTNodesize(bt -> lchild) + BTNodesize(bt -> rchild) + 1;
}//二叉树叶子结点的个数
//二叉树叶子结点的个数=左子树叶子结点个数+右子树叶子结点个数
int BTNodeleaf(tree bt)
{if (bt == NULL) return 0;if (bt -> lchild == NULL && bt -> rchild == NULL) return 1;//叶子结点return BTNodeleaf(bt -> lchild) + BTNodeleaf(bt -> rchild);
}//求二叉树的深度
//二叉树的深度=max(左子树深度,右子树深度)+1 (1为根结点)
int BTDepth(tree bt)
{if (bt == NULL) return 0;int left = BTDepth(bt -> lchild);int right = BTDepth(bt -> rchild);return (left > right) ? (left + 1):(right + 1);
}//判断一个结点x是否在二叉树中
bool BTFind(tree bt,char x)
{bool temp;if (bt == NULL) return false;//树空,返回falseif (bt -> data == x) return true;//递归出口:找到temp = BTFind(bt -> lchild,x);//从左子树中查找xif (temp) return true;temp = BTFind(bt -> rchild,x);//从右子树中查找xif (temp) return true;return false;//没找到
}//求第k层结点的个数
//当前树的第k层等于当前树的左子树的第k-1层(右子树同理)
int BTNodeKLevelSize(tree bt,int k)
{if (bt == NULL) return 0;//空树if (k == 1) return 1;//第一层之有根结点return BTNodeKLevelSize(bt -> lchild,k - 1) + BTNodeKLevelSize(bt -> rchild,k - 1);
}int main()
{pre_crt(root);cout << BTNodesize(root) << endl;//求二叉树结点的个数:7cout << BTNodeleaf(root) << endl;//求二叉树叶子结点的个数:3cout << BTDepth(root) << endl;//求二叉树的深度:4if (BTFind(root,'D')) cout << "FIND" << endl;else cout << "NOT FIND" << endl;//判断一个结点是否在二叉树中cout << BTNodeKLevelSize(root,3) << endl;//求第3层结点的个数3:return 0;
}

(以博客开头的第一棵树为例)

输入
ABC##DE###F#G##
输出
7
3
4
FIND
3

判断一颗二叉树是否为完全二叉树

算法思想：

借助queue< int> q，将各个结点以层序遍历序列进行入队
如果发现q.front()为NULL时，表示读取到了一个空结点，若它后面的结点都是NULL，则表示为完全二叉树
若它后面的结点出现不为NULL的情况，表示为非完全二叉树。

举例：
对于下图的一棵完全二叉树

对其进行层序遍历，得到1-2-5-3-4-null-null，按照这个顺序将结点依次入队，得到队列：

队列中的非NULL结点连续，故其是一棵完全二叉树

对于下图的非完全二叉树

对其进行层序遍历，得到1-2-5-3-4-null-6，按照这个顺序将结点依次入队，得到队列：

队列中的非NULL结点不连续，故其是一棵非完全二叉树