算法基础14 —— 图论入门之弗洛伊德算法(Floyed + Dijkstra + Bellman-Ford + SPFA)

入门概念

带权图：如下图所示，我们把边带有权值的图称为带权图
可以将边的权值理解为两点之间的距离
一张图中任意两点间会有不同的路径相连
最短路径：最短路径就是指连接两点的这些路径中最短的一条

Floyed、Dijkstra、Bellman-Ford、SPFA可以有效地解决最短路径问题。
需要注意的是：边的权值可以为负。当出现负边权时，有些算法不适用
最短路径问题是图论中典型的问题，多数模型可以归结为一下三种

管道铺设
线路安装
地图规划

问题引入

国庆期间，7535寝室计划去旅行。在出发前，寝室长查阅了地图，如下图，寝室长希望在出发前知道任意两个城市之间的最短路径。

那么，如何求解任意两点之间的最短路径呢？

Floyed算法

分析：如果要让任意两点之间(假设是a到b)的路程变短，只能引入第三个点(假设为k)，通过点k进行中转即a -> k -> b，才可能缩短原来从顶点a到顶点b的路程。如在上图中，结点1到结点3的距离本来为6，但是引入结点2之后，这两个结点的距离就变为了5。有时候可能还不只一个中转点，而是经过两个点或者更多的点进行中转会更短，即a -> k1 -> k2 -> b或者a -> k1 -> k2 -> … …-> b。
例如：在不考虑其他结点的情况下，上图中的4号城市到3号城市的路程原本是e[4][3] = 12，但是如果通过1号城市中转4 -> 1 -> 3，那么路程将缩短为11(e[4][1] + e[1][3] = 5 + 6 = 11)。如果同时通过1号和2号两个城市中转的话，从4号城市到3号城市的路程会进一步缩短为10(e[4][1] + e[1][2] + e[2][3] = 5 + 2 + 3 = 10)。通过以上分析，我们发现每个顶点都有可能使得另外两个顶点之间的路程变短。模拟该过程：
首先，如何存储这个地图？
可以用一个二维数组e来存储。比如1号城市到2号城市的路程为2，则设e[1][2] = 2。2号城市无法直接到达4号城市，则设e[2][4] = ∞。另外，约定自己到自己的路程为0。最终，得到表示两个城市之间距离的二维数组：

假设现在只允许经过1号顶点中转，求任意两点之间(i到j)的最短路径。只需要判定经过1号顶点中转的距离e[i][1] + e[1][j]是否比 i 到 j 的初始距离e[i][j]小。代码如下：

//经过1号顶点中转
for(i = 1;i <= n;i++)
{for(j = 1;j <= n;j++){//if (i到j的初始距离e[i][j] > 经过1号顶点中转的距离) 更新if(e[i][j] > e[i][1] + e[1][j])e[i][j] = e[i][1] + e[1][j];}
}

在只经过1号中转的情况下，任意两点之间的最短路径更新为下图：

既然可以允许经过1号结点中转，那么是否可以允许经过2号结点中转？显然是可以的。接下来，允许2号结点作为中转结点，任意两点之间的最短路径怎么求？我们需要在允许1号顶点作为中转结点的情况下，再判断允许2号顶点作为中转结点，是否可以使得 i 号顶点到 j 号顶点之间的路程变得更短，即判断经过2号结点之后的路程e[i][2] + e[2][j]是否比不经过2号结点的路程e[i][j]要小，代码如下：

//经过2号顶点中转
for(i = 1;i <= n;i++)
{for(j = 1;j <= n;j++){if(e[i][j] > e[i][2] + e[2][j])e[i][j] = e[i][2] + e[2][j];}
}

在经过1号和2号的中转的情况下，任意两点之间的最短路径更新为下图：

根据这样的规则，依次经过1号，2号，3号，4号四个顶点中转的情况下，求任意两点之间的最短路径，代码如下：

//经过1号顶点中转
for(i = 1;i <= n;i++)for(j = 1;j <= n;j++){if(e[i][j] > e[i][1] + e[1][j])e[i][j] = e[i][1] + e[1][j];//经过1号结点中转之后距离变小,更新}
//经过2号顶点中转
for(i = 1;i <= n;i++)for(j = 1;j <= n;j++){if(e[i][j] > e[i][2] + e[2][j])e[i][j] = e[i][2] + e[2][j];//经过2号结点中转之后距离变小,更新}
//经过3号顶点中转
for(i = 1;i <= n;i++)for(j = 1;j <= n;j++){if(e[i][j] > e[i][3] + e[3][j])e[i][j] = e[i][3] + e[3][j];//经过3号结点中转之后距离变小,更新}
//经过4号顶点中转
for(i = 1;i <= n;i++)for(j = 1;j <= n;j++){if(e[i][j] > e[i][4] + e[4][j])e[i][j] = e[i][4] + e[4][j];//经过4号结点中转之后距离变小,更新}

以上过程较繁琐，我们可以将以上过程写成三个for循环，代码如下：

for(k = 1;k <= n;k++)  //依次经过1~n中的n个点进行中转for(i = 1;i <= n;i++)for(j = 1;j <= n;j++){if(e[i][j] > e[i][k] + e[k][j])e[i][j] = e[i][k] + e[k][j];}

需要强调的是：用来循环中间点的变量k必须放在最外面一层循环

最终，得到任意两个结点之间的最短路径，如图所示：

Floyed算法总结：
Floyed算法可以算出任意两点的最短路径，可以处理带有负权边的图，但不能处理带有“负环”的图
什么是负环？如图所示：

e[1][1]本应等于0，如果采用Floyed算法更新最短路，e[1][1] = 2 + 3 - 6 = -1

Floyed算法的时间复杂度：O(n^3)

Floyed算法例题:

信奥一本通 1342

题目描述

平面上有n个点(n<=100)，每个点的坐标均在-10000 ~ 10000之间。其中的一些点之间有连线。若有连线，则表示可从一个点到达另一个点，即两点间有通路，通路的距离为两点间的直线距离。现在的任务是找出从一点到另一点之间的最短路径。

输入

共n+m+3行，其中:
第一行为整数n。
第2行到第n+1行(共n行)，每行两个整数x和y，描述了一个点的坐标。
第n+2行为一个整数m，表示图中连线的个数。
此后的m行，每行描述一条连线，由两个整数i和j组成，表示第i个点和第j个点之间有连线。
最后一行：两个整数s和t，分别表示源点和目标点。

输出

一行，一个实数(保留两位小数)，表示从s到t的最短路径长度。

输入样例

5
0 0
2 0
2 2
0 2
3 1
5
1 2
1 3
1 4
2 5
3 5
1 5

输出样例

3.41

AC代码：

本题需要注意的是，对于double数组，需要循环手动赋值无穷，而不能用memset

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>using namespace std;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int N = 110;
double e[N][N];//e[i][j]表示结点i到结点j的最短距离struct node
{int x;//横坐标int y;//纵坐标
}pos[N];int main()
{//memset(e,inf,sizeof e);int n,m;scanf("%d",&n);//表示结点的个数for (int i = 1;i <= n;i++) scanf("%d%d",&pos[i].x,&pos[i].y);//输入第i个结点的横纵坐标for (int i = 1;i <= n;i++)for (int j = 1;j <= n;j++)e[i][j] = inf;scanf("%d",&m);while (m --){int p,q;scanf("%d%d",&p,&q);//连接两点double del_x = pos[p].x - pos[q].x;//第p个结点和第q个结点的横坐标之差double del_y = pos[p].y - pos[q].y;//第p个结点和第q个结点的纵坐标之差e[p][q] = e[q][p] = sqrt((double)pow(del_x,2) + (double)pow(del_y,2));//计算距离}for (int i = 1;i <= n;i++) e[i][i] = 0;//初始化//Floyed算法模板for (int k = 1;k <= n;k++)for (int i = 1;i <= n;i++)for (int j = 1;j <= n;j++)e[i][j] = min(e[i][j],e[i][k] + e[k][j]);int start,end;scanf("%d%d",&start,&end);printf("%.2f",e[start][end]);return 0;
}