1、二分法

//求方程 2*x*x*x-4*x*x+3*x-6 的根
/* 二分法*/
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#define Epsilon 1.0E-6//解的精度
double func(double x) //函数
{return   2 * x * x * x - 4 * x * x + 3 * x - 6;
}
int main() {double x, y, x0, f1, f2, f0;printf("Please input the boundary of the value:");scanf("%lf%lf", &x, &y);// [x-x0-y] x0 = (x + y) / 2;f0 = func(x0);f1 = func(x);f2 = func(y);while (fabs(f0) >= Epsilon){if (f0 * f1 < 0){y = x0;f2 = func(y);}if (f0 * f2 < 0){x = x0;f1 = func(x);}x0 = (x + y) / 2;f0 = func(x0);}printf("用二分法求得方程的一个根：%f\n", x0);
}

2、牛顿迭代法

（Newton’s method）又称为牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。
百度百科–牛顿迭代法

2.1 普通的牛顿迭代法

//用牛顿迭代法 求方程 2*x*x*x-4*x*x+3*x-6 的根
/* 牛顿迭代法 */
#include<stdio.h>
#include<math.h>
//#define Epsilon 1.0E-6//解的精度
double func(double x) //函数
{return 2 * x * x * x - 4 * x * x + 3 * x - 6.0;
}
double func1(double x) //导函数
{return 6 * x * x - 8 * x + 3;
}
double Newton() {double x0, x1 = 0.0, precision;// 可以选择1.0E-6为解的精度 printf("输入初始迭代值x0:");scanf("%lf", &x0);printf("迭代要求的精度：");scanf("%lf", &precision);x1 = x0 - func(x0) / func1(x0);while (fabs(x1 - x0) >= precision) {x0 = x1;x1 = x0 - func(x0) / func1(x0);}return x1;
}
int main() {double answer = Newton();if (answer != 0) {//可以直接看出答案不能为0，故作判断依据printf("%f", answer);}
}

2.2 定义迭代次数的牛顿迭代法

//用牛顿迭代法 求方程 2*x*x*x-4*x*x+3*x-6 的根
/* 牛顿迭代法 */
#include<stdio.h>
#include<math.h>
//#define Epsilon 1.0E-6//解的精度
double func(double x) //函数
{return 2*x*x*x-4*x*x+3*x-6.0;
}
double func1(double x) //导函数
{return 6*x*x-8*x+3;
}
int Newton(double *x,double precision,int maxcyc)      //maxcyc  迭代次数
{double x1,x0;int k;x0=*x;for(k=0;k<maxcyc;k++){if(func1(x0)==0.0)//若通过初值，函数返回值为0{printf("迭代过程中导数为0!\n");return 0;}x1=x0-func(x0)/func1(x0);//进行牛顿迭代计算if((fabs(x1-x0)<precision )|| (fabs(func(x1))<precision))//达到结束条件{*x=x1; //返回结果return 1;}else //未达到结束条件{x0=x1; //准备下一次迭代}}printf("迭代次数超过预期！\n"); //迭代次数达到，仍没有达到精度return 0;
}int main()
{double x,precision;int maxcyc;printf("输入初始迭代值x0:");scanf("%lf",&x);printf("输入最大迭代次数：");scanf("%d",&maxcyc);printf("迭代要求的精度：");scanf("%lf",&precision);if(Newton(&x,precision,maxcyc)==1) //若函数返回值为1{printf("该值附近的根为：%lf\n",x);}else //若函数返回值为0{printf("迭代失败！\n");}return 0;
}

3、简化牛顿法

就是简单的把导数用最开始的那个

3.1简化的牛顿法代码

//用牛顿迭代法 求方程 x^3- x-1=0的根
/* 简化牛顿法 */
#include<math.h>
#include<iostream>
using namespace std;
//#define Epsilon 1.0E-6//解的精度
double func(double x) //函数
{return x * x * x - x * x - 1.0;
}
double func1(double x) //导函数
{return 3 * x * x - 2*x;
}
double Newton() {double x0, x1 = 0.0, precision;// 可以选择1.0E-6为解的精度 printf("输入初始迭代值x0:");cin >> x0;// printf("迭代要求的精度：");//cin >> precision;precision = 1.0E-6;double staticNum = func1(x0);x1 = x0 - func(x0) / func1(x0);while (fabs(x1 - x0) >= precision) {x0 = x1;x1 = x0 - func(x0) / staticNum;cout << func(x1) << " ";}return x1;
}int main() {double answer = Newton();if (answer != 0)cout << answer << endl;}

对比之前的牛顿法

//用牛顿迭代法 求方程 2*x*x*x-4*x*x+3*x-6 的根
/* 牛顿迭代法 */
#include<stdio.h>
#include<math.h>
//#define Epsilon 1.0E-6//解的精度
double func(double x) //函数
{return x * x * x - x * x - 1.0;
}
double func1(double x) //导函数
{return 3 * x * x - 2*x;
}
double Newton() {double x0, x1 = 0.0, precision;// 可以选择1.0E-6为解的精度 printf("输入初始迭代值x0:");scanf("%f", &x0);// printf("迭代要求的精度：");//scanf("%f",&precision);precision = 1.0E-6;x1 = x0 - func(x0) / func1(x0);while (fabs(x1 - x0) >= precision) {x0 = x1;x1 = x0 - func(x0) / func1(x0);printf("%lf ", func(x1));}return x1;
}
int main() {double answer = Newton();if (answer != 0) {//可以直接看出答案不能为0，故作判断依据printf("%f", answer);}
}

已知在x=1.5附近有一个零点，所以
同时使用x0=1.5，对比收敛速度，明显知道之前没有简化的牛顿法比较慢

但是如果用0.6（一个偏离正确的值），会发现牛顿法可以求出而已。

4、牛顿下山法

4.1牛顿下山法代码

//用牛顿迭代法 求方程 x^3- x-1=0的根
/* 简化牛顿法 */
#include<math.h>
#include<iostream>
using namespace std;
//#define Epsilon 1.0E-6//解的精度
double func(double x) //函数
{return x * x * x -  x * x -1.0;
}
double func1(double x) //导函数
{return 3 * x * x - 2*x;
}
double Newton() {double x,x1,precision;// 可以选择1.0E-6为解的精度 printf("输入初始迭代值x0:");cin >> x;precision = 1.0E-4;double y = func(x);double r=1.0;         //下山因子int time = 1;while (abs(y) > precision) {r = 1;x1 = x - r * y / (func1(x));cout << x1 << " ";while (  abs(func(x1)) > abs(func(x))  ) {r = r / 2;x1 = x - r * y / func1(x);cout << x1 << " ";}x = x1;y = func(x);time += 1;}   return x;
}int main() {double answer = Newton();   if(answer!=0)cout << answer<<endl;}

对比可以发现，牛顿下山法快一点，变化幅度小。

补充：关于评论区的问题

如何实现牛顿下山法的过程，抱歉，用C++，我能力有限，我了解到可以用opencv和EasyX Graphics Library库，但对我来说，人生苦短，我用python

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from matplotlib.pyplot import MultipleLocatorEpsilon = 1.0E-6
def func(x:float) :#函数return x * x * x - x * x - 1.0def func1(x:float) :# 导函数return 3 * x * x - 2 * xdef Newton():x = eval(input("输入初始迭代值x0:")) # cin >> x;precision = Epsilony = func(x)r = 1.0;         # 下山因子X_List = []while abs(y) > precision:r = 1x1 = x - r * y / (func1(x))X_List.append(x1)# print(x1) #cout << x1 << " ";while abs(func(x1)) > abs(func(x)) :r = r / 2x1 = x - r * y / func1(x)X_List.append(x1)x = x1y = func(x)return x, X_Listdef main():answer, Y_List  = Newton()if answer != 0:print(answer) # cout << answer << endlX_List = [i+1 for i in range(len(Y_List))]    y_min,y_max = np.min(Y_List),np.max(Y_List)    my_y_ticks = np.arange(y_min,y_max,(-y_min+y_max)/len(X_List))plt.yticks(my_y_ticks)x_major_locator=MultipleLocator(1)# 把x轴的主刻度设置为1的倍数ax = plt.gca()ax.xaxis.set_major_locator(x_major_locator)plt.plot(X_List,Y_List,color='red', marker='o', linestyle='dashed', linewidth=1, markersize=5)plt.show()
main()

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