9.7 方向导数与梯度

在上一篇中，我们总结了多元微分学在几何上的应用，主要分为了两种类型和三种情况，这里不再赘述，直接上新内容了，有对上一节内容不熟悉的地方请参阅上一篇。

方向导数的概念

方向导数的定义
参考注释
先给个图

假如∑：z=f(x,y)就是这样一个东西，或者把它看成一座山，我们上去观光，手里拿着导航，本来是开开心心坐缆车上山，但是缆车走一半坏球了，我们从半山腰M₀处下车，沿着箭头方向徒步上山，累死累活爬了一年，到达点M处

emmm，其实上面的这个例子是不准确的，对照定义中的概念，M₀M更准确的应该描述为我们在导航或者平面图上的位置移动，而概念中的Δz放到这个例子中，也不是我们登山的移动轨迹，而是两点之间海拔也就是高度的变化量。

我不知道我这样说是不是有助于概念的理解，尽力了。

好了我们继续，在登山的例子中不难发现，如果选择的方向不同，就会产生不同的结果，上山和下山嘛。所以Δz/ρ的结果是有正有负的，接下来求极限，如果极限存在，极限值就是导数了，因为这个导数的值和方向密切相关所以称之为方向导数。

通过方向导数，我们可以明确的判断出函数在某一个方向上函数增量的正负和变化率的缓急。

如果看了以上的解释还是不太明白也不要紧，在接下来的内容中还会从另一个角度解释方向导数。现在只要记住导数反映的是函数的变化率，方向导数反应的是函数在某一个方向上的变化率即可。

类似的，我们可以定义三元函数的方向导数

甚至再多的也无所谓，哪怕函数图像我想象不出来，只要知道方向导数是表现函数在某一点沿某一方向的变化率，只需要注意2个地方

首先M₀和M必须在函数定义域内，如果函数在该点处没有定义，研究个鬼的导数
其次研究方向导数必须确定方向，也就是M点必须在射线方向上

方向导数的计算方法

二元函数方向导数计算方法
同理三元函数的方向导数的计算方法如下

例题

例1

例2

梯度

在讲梯度之前，我们先来发掘一下方向导数的计算公式，还记得上文说的从另一个角度阐述方向导数吗？填坑了啊，可别说作者挖坑不填，当场挖当场就给你填上(手动滑稽)。

就拿我们刚刚说过的三元函数计算方向导数的式子看吧

看看，两两相乘再相加，点乘啊

那么这俩向量是什么东西呢？向量就是向量啊，还能是啥？

前面的向量是一个常向量，只要函数确定，点确定，这个向量就是确定的，和方向的选取是没有关系的。

后面的向量则是一个单位向量，方向与射线选取方向一致。还记得不？任何向量的方向余弦组成的向量就是该向量的单位向量。

常向量和单位向量之间是存在一个夹角的，给个图

把上面的式子变形
可以看到上面的式子实际上就是一个常数与一个夹角余弦的乘积，所以cosθ就是方向导数选取的方向不同结果不同的原因，也可以说是方向导数中的唯一变量

因为θ的范围在0到π之间，也就是cosθ的范围在-1到1之间，所以当θ=0时，也就是常向量与射线方向一致时，方向导数取最大值。

对方向导数有充分的理解以后，我们再来看看什么是梯度，
函数在某一点处的梯度其实就是偏导数组成的常向量在该点的取值，梯度的方向即为函数增长速度最快的方向。

没了，真没了，就挺突然的。

本篇完。