前言

前文介绍了多元函数微分的实质，接下来介绍多元函数中的方向导数与梯度，以二元函数为例

方向导数

方向导数的实质：自变量沿着xoy平面上的某个方向变化时，f的变化率（一元函数微分）
曲面S沿着u = (a, b)方向在(x0, y0, z0)的方向导数，是 作一平面C，C垂直于平面xoy且经过方向向量u所在的直线。C与S的交线（曲线）在(x0, y0, z0)的导数（一元函数微分）
请注意，此处沿着u方向，向量u是xoy平面上的单位向量，用于指示自变量的变化方向，而不是三维空间中的向量。由于u是单位向量，故必然存在 θ \theta θ，使得

c o s θ = a , s i n θ = b cos\theta = a, sin\theta = b cosθ=a,sinθ=b

易知， θ \theta θ就是向量u和x轴的夹角
例如我们熟知的两个偏导数，分别是沿着x轴和y轴的方向导数，即上图中的平面C应当垂直于xoy平面，且经过x轴（y轴）
根据上一篇文章对一元函数微分的讨论可知，该方向导数应当是（一元函数微分）

D u f ∣ ( x 0 , y 0 , z o ) = l i m h − > 0 f ( x 0 + h a , y 0 + h b ) − f ( x 0 , y 0 ) h ( ∗ ) D_u f |_{(x0, y0, zo)} = lim_{h->0} \frac{f(x_0 + ha, y_0 + hb) - f(x_0, y_0)}{h}\ \ (*) Duf∣(x0,y0,zo)=limh−>0hf(x0+ha,y0+hb)−f(x0,y0) (∗)

可以证明（见文末）

D u f ∣ ( x 0 , y 0 , z o ) = f x ( x 0 , y 0 ) a + f y ( x 0 , y 0 ) b D_u f |_{(x0, y0, zo)} = f_x(x_0, y_0)a + f_y(x_0, y_0)b Duf∣(x0,y0,zo)=fx(x0,y0)a+fy(x0,y0)b
= ( f x ( x 0 , y 0 ) , f y ( x 0 , y 0 ) ) ⋅ ( a , b ) = ∇ f ( x 0 , y 0 ) ⋅ u = (f_x(x_0, y_0), f_y(x_0, y_0)) · (a, b) = \nabla f(x_0, y_0) · u =(fx(x0,y0),fy(x0,y0))⋅(a,b)=∇f(x0,y0)⋅u

∇ f \nabla f ∇f是梯度，将在下文介绍
这里有几个重要的前提条件，*式成立的前提条件是给定的方向向量u是单位向量。根据上文可以进行如下转换，假设 θ \theta θ是沿着u方向的任意向量u’与x轴的夹角，则

D u ′ f ∣ ( x 0 , y 0 , z o ) = ∇ f ( x 0 , y 0 ) ⋅ ( c o s θ , s i n θ ) D_{u'} f |_{(x0, y0, zo)} = \nabla f(x_0, y_0) · (cos\theta, sin\theta) Du′f∣(x0,y0,zo)=∇f(x0,y0)⋅(cosθ,sinθ)

需要注意的是，方向导数是数，因为点乘的结果是实数，但下文可以看到，梯度是个自变量域的向量

梯度

定义梯度为向量 ∇ f = ( f x , f y ) \nabla f = (f_x, f_y) ∇f=(fx,fy)
在(x0, y0, z0)的梯度的实质是使得z0变化最快（即方向导数的绝对值最大）的自变量的变化方向的方向向量（不一定是单位向量）。梯度用于表明沿着哪个自变量的变化方向函数值变化最快
易知，假设u是任一单位方向向量， θ ′ \theta' θ′是向量 ∇ f = ( f x , f y ) \nabla f = (f_x, f_y) ∇f=(fx,fy)与 u = ( c o s θ , s i n θ ) u = (cos\theta, sin\theta) u=(cosθ,sinθ)的夹角

D u f ( x 0 , y 0 ) = ∇ f ( x 0 , y 0 ) ⋅ ( c o s θ , s i n θ ) = ∣ ∇ f ( x 0 , y 0 ) ∣ ∣ ( c o s θ , s i n θ ) ∣ c o s θ ′ D_u f(x_0, y_0) = \nabla f(x_0, y_0) · (cos\theta, sin\theta) = |\nabla f(x_0, y_0) ||(cos\theta, sin\theta) |cos\theta' Duf(x0,y0)=∇f(x0,y0)⋅(cosθ,sinθ)=∣∇f(x0,y0)∣∣(cosθ,sinθ)∣cosθ′
= ∣ ∇ f ( x 0 , y 0 ) ∣ c o s θ ′ = |\nabla f(x_0, y_0)|cos\theta' =∣∇f(x0,y0)∣cosθ′

显然，当且仅当两个向量同向时，即自变量的变化方向为梯度向量的方向，方向导数最大，f增长最快，增长率为梯度的模长；反向同理

方向导数公式的证明

微积分：如何理解方向导数与梯度？相关推荐

方向导数与梯度的实质理解
https://www.zhihu.com/question/36301367 如何直观形象的理解方向导数与梯度以及它们之间的关系? 微信公众号:matongxue314 我们先来玩一个游戏,假如你在 ...
导数，方向导数与梯度的关系
最近做的东西需要用到牛顿法和拟牛顿法,前两天自己在思考导数和梯度之间的关系的的时候,发现竟然不能清晰地表述出来.所以趁此机会再次复习一下.时间有限,这个也不是重点,所以主要对知乎上的一个相同问题中大家 ...
高数复习（2）--方向导数与梯度的理解附根据梯度求轨迹的基本模型
(非证明,仅供理解) ---------------------------公式----------------------------- 方向导数: 其中 l 是给定的一个射线的方向向量,(cosα ...
彻底搞明白梯度下降算法1：方向导数与梯度概念理解
预备知识点:斜率与变化率方向导数梯度总结 1.预备知识点:斜率与变化率斜率: 数学.几何学名词,是表示一条直线(或曲线的切线)关于横坐标轴倾斜程度的量.它通常用直线(或曲线的切线)与横坐标轴夹 ...
理解偏导数、梯度、方向导数
偏导数我们都知道导数是一元函数的变化率,衡量每个x位置处的瞬间变化率. 偏导数是针对多变量函数而言的,它通过将多变量函数退化成一元函数分别求各自的导数.以二元函数为例: Z = F(x,y) 求x的 ...
【RL数学基础】微积分的基本概念：导数、偏导数、方向导数、梯度
文章目录 1.导数 2.偏导数 3.方向导数 4.梯度 1.导数导数定义: 反应的是函数 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 在某一点处沿着自变量 xxx 的正方向(即: xxx 轴正方向)的变化 ...
一阶方向导数与梯度和方向向量的关系及其应用
一.基本概念 1.方向导数(Directional derivative) 方向导数是指在给定点沿着某个方向的导数,表示函数在该方向上的变化率. 具体而言,对于一个向量场 f ( x ...
二元函数偏导数公式_多元函数的偏导数、方向导数、梯度以及微分之间的关系思考...
本篇文章,探讨下多元函数微分学下的一些知识点之间的关系.包括全微分.偏导数.方向导数.梯度.全导数等内容. 初学这些知识的时候,学生会明显觉得这些概念不难掌握,而且定义及计算公式也很容易记住,但总觉得 ...
高数 | 【概念剖析】多元函数的偏导数、方向导数、梯度以及微分之间的关系
本篇文章,探讨下多元函数微分学下的一些知识点之间的关系.包括全微分.偏导数.方向导数.梯度.全导数等内容. 一.导数和微分到底是什么,以及为什么会有这些概念导数和微分其实就是数学家创造的两个代数工具 ...

微积分：如何理解方向导数与梯度？

文章目录

前言

方向导数

梯度

方向导数公式的证明

微积分：如何理解方向导数与梯度？相关推荐

最新文章

热门文章