节点中心性：度中心性、特征向量中心性、Katz中心性、介数中心性

一、度中心性(Degree Centrality)

如果有许多其他节点连接到某个节点，那么后者可以被认为是重要的。因此，可以基于一个节点的度测量它的中心性。更具体地说，对于节点viv_ivi，其度中心性可以定义为：
cd(vi)=d(vi)=∑j=1NAi,jc_d(v_i)=d(v_i)=\sum_{j=1}^NA_{i,j} cd(vi)=d(vi)=j=1∑NAi,j
由上面的公式可以知道，节点v1v_1v1与v5v_5v5的度中心性都是3，而节点v2v_2v2、v3v_3v3和v4v_4v4的度中心性都是2。

二、特征向量中心性(Eigenvector Centrality)

度中心性认为与多个节点相邻的节点是重要的，且认为所有邻居的贡献度是一样的。然而，这些相邻节点本身的重要性是不同的，因此它们对中心节点的影响不同。给定一个节点viv_ivi，特征向量中心性用它的相邻节点的中心性来定义viv_ivi的中心性：
ce(vi)=1λ∑j=1NAi,j⋅ce(vj)c_e(v_i)=\frac{1}{\lambda}\sum_{j=1}^NA_{i,j}{\cdot}c_e(v_j) ce(vi)=λ1j=1∑NAi,j⋅ce(vj)    也可以表达为矩阵的形式：
ce(vi)=1λA⋅cec_e(v_i)=\frac{1}{\lambda}A{\cdot}c_e ce(vi)=λ1A⋅ce    式中，ce∈RNc_e{\in}R^Nce∈RN是一个包含所有节点的特征向量中心性的向量，这个式子也可以表达为：
λ⋅ce(vi)=A⋅ce\lambda{\cdot}c_e(v_i)=A{\cdot}c_e λ⋅ce(vi)=A⋅ce    显然，cec_ece是矩阵的特征向量，λ\lambdaλ是其对应的特征值。一个邻接矩阵AAA存在多对特征向量和特征值。中心性的值通常为正数，所以选择中心性需要考虑所有元素均为正数的特征向量。根据Perron-Frobenius定理，一个元素全为正的实方阵具有唯一的最大特征值，其对应的特征向量的元素全为正。因此可以选择最大的特征值λ\lambdaλ，将它的相应的特征向量作为中心性向量。
    通过上面的公式进行计算，可以算出示例图中最大的特征值是2.481，对应的特征向量[1, 0.675, 0.675, 0.806, 1]。因此，v1,v2,v3,v4,v5v_1,v_2,v_3,v_4,v_5v1,v2,v3,v4,v5的特征向量中心性分别是1,0.675,0.675,0.806,1。注意v2v_2v2、v3v_3v3和v4v_4v4的度都是2，但是v4v_4v4的特征向量中心性比另外两个节点的都要高，因为它和v1v_1v1、v5v_5v5两个高特征向量中心性的节点直接相连。

三、Katz中心性(Katz Centrality)

Katz中心性是特征向量中心性的一个变体，它不仅考虑了邻居的中心性，而且包含了一个常数来考虑中心节点本身。具体来说，节点viv_ivi的Katz中心性可以定义为：
ck(vi)=α∑j=1NAi,jck(vj)+βc_k(v_i)={\alpha}\sum_{j=1}^NA_{i,j}c_k(v_j)+\beta ck(vi)=αj=1∑NAi,jck(vj)+β    式中，β\betaβ是一个常数。一个图中所有节点的Katz中心性可以用矩阵形式表示为：
ck=αAck+β(I−α⋅A)ck=βc_k={\alpha}Ac_k+\beta\\ (I-{\alpha}{\cdot}A)c_k=\beta ck=αAck+β(I−α⋅A)ck=β    式中，ck∈RNc_k{\in}R^Nck∈RN表示所有节点的Katz中心性的向量；β\betaβ表示一个包含所有节点的常数项β\betaβ的向量；III表示单位矩阵。值得注意的是，如果令α=1λmax{\alpha}=\frac{1}{\lambda_{max}}α=λmax1和β=0\beta=0β=0，那么Katz中心性等价于特征向量中心性，其中λmax{\lambda}_{max}λmax是邻接矩阵AAA的最大特征值。α\alphaα的选择对于Katz中心性非常关键：大的α\alphaα值可能使矩阵I−α⋅AI-{\alpha}{\cdot}AI−α⋅A变成病态矩阵，而小的α\alphaα可能使中心性变得没有意义，因为它总是给所有节点分配非常相似的分数。在实践中，经常令α<1λmax{\alpha}<\frac{1}{\lambda_{max}}α<λmax1，这就保证了矩阵I−α⋅AI-{\alpha}{\cdot}AI−α⋅A的可逆性，那么ckc_kck可按如下方式计算：
ck=(I−α⋅A)−1βc_k=(I-{\alpha}{\cdot}A)^{-1}\beta ck=(I−α⋅A)−1β    令β=1,α=15\beta=1,\alpha=\frac{1}{5}β=1,α=51，经过计算可得示例图中节点v1v_1v1和v5v_5v5的Katz中心性都是2.16，v2v_2v2和v3v_3v3的Katz中心性是1.79，v4v_4v4的Katz中心性是1.87。

四、介数中心性(Betweeness Centrality)

前面提到的几种中心性基于和相邻节点的连接。另一种度量节点重要性的方法是检查它是否在图中处于重要位置。具体来说，如果有许多路通过同一个节点，那么该节点处于图中的一个重要位置。节点viv_ivi的介数中心性的定义如下：
cb(vi)=∑vs≠vi≠vtσst(vi)σstc_b(v_i)=\sum_{v_s{\neq}v_i{\neq}v_t}\frac{\sigma_{st}(v_i)}{\sigma_{st}} cb(vi)=vs=vi=vt∑σstσst(vi) 式中，σst\sigma_{st}σst表示所有从节点vsv_svs到节点vtv_tvt的最短路的数目（此处不区分vsv_svs与vtv_tvt）；σst(vi)\sigma_{st}(v_i)σst(vi)表示这些路中经过节点viv_ivi的路的数目。为了计算介数中心性，需要对所有可能的节点对求和。因此，介数中心性的值会随着图的增大而增大。为了使介数中心性在不同的图中具有可比性，需要对它进行归一化（normalization）。一种有效的方法是将所有节点的中心性除以其中的最大值。由上面介数中心性的公式可知，当任意一对节点之间的最短路都通过节点viv_ivi时，介数中心性达到最大值，即σst(vi)σst=1,∀vs≠vi≠vt\frac{\sigma_{st}(v_i)}{\sigma_{st}}=1,{\forall}v_s{\neq}v_i{\neq}v_tσstσst(vi)=1,∀vs=vi=vt。在一个无向图中，共有(N−1)(N−2)2\frac{(N-1)(N-2)}{2}2(N−1)(N−2)个不包含节点viv_ivi的节点对，所以介数中心性的最大值是(N−1)(N−2)2\frac{(N-1)(N-2)}{2}2(N−1)(N−2)。所以viv_ivi归一化后的介数中心性cnb(vi)c_{nb}(v_i)cnb(vi)可以定义为：
cnb(vi)=2×∑vs≠vi≠vtσst(vi)σst(N−1)(N−2)c_nb(v_i)=\frac{2{\times}\sum_{v_s{\neq}v_i{\neq}v_t}\frac{\sigma_{st}(v_i)}{\sigma_{st}}}{(N-1)(N-2)} cnb(vi)=(N−1)(N−2)2×∑vs=vi=vtσstσst(vi) 在示例图中，节点v1v_1v1和v5v_5v5的介数中心性是23\frac{2}{3}32，而它们归一化后的中心性是14\frac{1}{4}41。节点v2v_2v2和v3v_3v3的介数中心性是12\frac{1}{2}21，而它们归一化后的中心性是112\frac{1}{12}121。节点v4v_4v4的介数中心性和归一化的中心性均为0。