背景

最近需要在一个节点数300+万，边400+万的有向图中删除某一些边的子集，但是又需要尽量减少对图的弱连通性的影响。最后的解决方案中一部分是，先将有向图转为无向图，计算边的betweenness，有时也被翻译成中介中心性，然后删除中介中心性较低的边。

定义

betweenness顾名思义，是它作为中介的一种度量。具体是在所有最短路径中，此边通过的最短路径所占的比例。因此betweenness越高，其中介性越高。
cB(e)=∑s,t∈eσ(s,t∣v)σ(s,t)c_B(e) =\sum_{s,t \in e } \frac{\sigma(s, t|v)}{\sigma(s, t)} cB(e)=s,t∈e∑σ(s,t)σ(s,t∣v)
我认为删除中介性更高的边，对图的连通性影响性更大。

实例

建图

import networkx as nx
G = nx.Graph()
G.add_edges_from([[0, 1], [0, 2], [1, 2], [2,3], [3,4], [4,5], [3,5]])
nx.draw(G, with_labels=True)

计算

nx.edge_betweenness_centrality(G, k=None)
>>> {(0, 1): 0.06666666666666667,(0, 2): 0.26666666666666666,(1, 2): 0.26666666666666666,(2, 3): 0.6,(3, 4): 0.26666666666666666,(3, 5): 0.26666666666666666,(4, 5): 0.06666666666666667}

可以看到(2, 3)的中介性最高，(0, 1) (4, 5)的中介性最低，其余几条边的中介性相同，跟预期相同。

大规模图上的边介数

既然edge_betweenness的计算涉及了最短路径，因此计算复杂度一定不低，因此在大规模图上有实现难度。不过networkx的edge_betweenness提供了一个k参数，选择sample的节点数目。k越大，其计算的介数准确度越高。
在我的大规模图上，我选择了10，计算时长在一个小时左右。根据返回的edge_betweenness删除边后，图的连通性的影响在可接受范围内。
另外需要注意的是，当设置了k后，返回的edge_betweenness不一定包括所有的边。这里面的具体原理还需要看代码。不过我个人理解，缺失的边的中介性是很低的。

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