线性代数(四十) : 正交补与正交投影

本节介绍一个与正交有关的子空间：正交补空间

1 正交补

设X是具有欧几里得结构的有限维线性空间.Y是X的子空间.

定义在X中那些与Y的所有向量都正交的向量组成的空间为

Y的正交补(orthogonal complement)记做：

即对任意：

2 正交投影

(i)定理1：

对X的任意子空间Y有：

即X中的任意向量都可以唯一的分解为：

证明：

首先我们假设上述分解不是唯一的，还有:

对照上式有：

因此y-z同时属于Y与其正交补,因此y-z与其自身正交：

因此：

下面简述分解存在性的证明：

我们首先选取Y的一组标准正交基,然后根据格拉姆-施密特方法将其扩充为X的一组标准正交基.

x可分解为：

显然,上式中：

在分解式：

中分量y称为x在y上的正交投影，记做：

3 正交投影的性质

(i)

证明：

令w是X中与x无关的任意向量且w可分解为：

由定理一得到x+w的分解式：

这就表明:

类似的还有:

证明后半部分：任取x分解为：

则

(ii) 设Y是欧几里得空间X的一个线性子空间,x是X中的向量,则在Y的全体向量z中,

向量x在Y上的正交投影与x的欧几里得距离最近

证明：

将x分解得到:

其中：

于是根据勾股定理：

显然y=z时,上式去的最小值，而：

因此定理得证.

线性代数(四十) : 正交补与正交投影相关推荐

gram矩阵的性质_线性代数（十五）标准正交基（Orthonormal Bases）和Gram-Schmidt正交化...
本节讲述什么是标准正交基.为什么需要标准正交基以及如何获得标准正交基. 标准正交基需要两个要素:正交(orthogonal 垂直)和标准(normal 长度为1).如果只是正交的基,而向量长度不为1, ...
maya批量命名插件_教你玩转MAYA的四十二精华造诣（第一期）
最近在整理文档时发现我收藏了一篇关于MAYA应用技巧的文章,突然有兴趣看了看,结果发现老版本MAYA中的某些内容很多已经无法应用于新版本.我又上网查了一下,结果发现网上好多帖子和我收藏的这篇内容基本一 ...
计算机教师40辞职能做什么,干了二十多年老师，四十多岁了，嫌累想辞职，还能有更好的出路吗...
今日讨论:教师岗位工作23年,今年43,感觉好累,想辞职,辞职以后能做什么工作? 看到有网友在一年前提出的这个问题,觉得很有探讨的意义.在教师工作岗位上干了23年,如果他还没辞职,今年就24年了.说感 ...
年过四十的男人，为何路越走越窄?
年过四十的男人,为何路越走越窄?<?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office&quo ...
首颗“机器心”成功植入近四十年后，人造心脏终于又迎来颠覆变革
来源:大数据文摘本文约2000字,建议阅读5分钟人造心脏迎来大变革. 1982 年 12 月 2 日,心胸外科医生William DeVries小心地取出了Barney Clark满是裂痕的脆弱心脏 ...
窥见人工智能四十年 2019 CCF-GAIR全球人工智能与机器人峰会今日开幕
编者按:7月12日-14日,2019年全球人工智能与机器人峰会(CCF-GAIR)正式开幕,该峰会由中国计算机学会(CCF)主办,雷锋网.香港中文大学(深圳)承办,深圳市人工智能与机器人研究院协办,得 ...
NeHe OpenGL教程第四十课：绳子的模拟
转自[翻译]NeHe OpenGL 教程前言声明,此 NeHe OpenGL教程系列文章由51博客yarin翻译(2010-08-19),本博客为转载并稍加整理与修改.对NeHe的OpenGL管线 ...
四十六、利用yarn多队列实现hadoop资源隔离
2019独角兽企业重金招聘Python工程师标准>>> 大数据处理离不开Hadoop集群的部署和管理,对于本来硬件资源就不多的创业团队来说,做好资源的共享和隔离是很有必要的,毕竟不像 ...
计算机考研最后四十天,2021考研最后四十天冲刺复习攻略
2021考研最后这一冲刺阶段,不仅要对以往学过的知识做强化梳理和查缺补漏,还要集中精力做好英语作文.政治等部分的突击学习.因此,在这个紧要的关头,千万不要吝啬你的付出,一定要把每一项复习任务都要落到实 ...

线性代数(四十) : 正交补与正交投影

1 正交补

2 正交投影

3 正交投影的性质

线性代数(四十) : 正交补与正交投影相关推荐

最新文章

热门文章