NeHe OpenGL第四十课：绳子的模拟

绳子的模拟:

怎样模拟一根绳子呢，把它想象成一个个紧密排列的点，怎么样有了思路了吧，在这一课你你将学会怎样建模，简单吧，你能模拟更多。
 
绳索模拟

在这个教程里我们将模拟一段绳索，我们是在39课的基础上进行的。

在物理模拟中，我们必须设置各个物理量，就像它们在自然界中的行为一样。模拟中的运动并不一定和自然界相同，我们使用的运动模型，必须和我们需要模拟的目的有关，目的决定了它的精确度。要知道我们的目标不

是模拟原子和分子，也不是模拟成千上万的粒子系。首先我们需要确定我们模拟的目标，才能创建我们的物理模型。它和下面内容相关：

1. 运动的数学表示
2. 执行模拟的计算机的速度

1. 运动的数学表示:

这个问题决定了我们使用何种数学方程来模拟运动，使用经典力学还是量子力学。

2. 执行模拟的计算机的速度:

计算机的速度决定了我们可以模拟的精度。

设计绳索的物理模型:

我们在经典力学和高于500Mhz的计算机上模拟这个问题。首先我们需要设定需要的精度，我们使用一系列互相用弹簧连接的质点来模拟绳索，精度决定了我们用多少个点来模拟，当然越多越精确。在下面我决定用50或

100个点来模拟绳子一段3或4m长的绳子，换句话说，我们的模拟精度就是3到8厘米。

设计运动模型:

在绳子中，施加给各个质点的力来自于自身的质量和相连的内力（参见大学里的普通力学）。如下我们用"O"表示质点，“—”表示连接质点的弹簧。
O----O----O----O
1    2    3    4

弹簧的力学公式如下:

力 = -k * x
k: 弹性系数
x: 相距平衡位置的位移

上面的公式说明，如果相邻点的距离为平衡距离，那么它们不受到任何力的作用。如果我们设置平衡位置为5cm，那么100个点的绳子长5m。如果相连质点之间的位置小于5cm，它们受到排斥力。

上面的公式只是一个基础，现在我们可以加上摩擦力，如果没有这项，那么绳子将永远动下去。

弹簧类:

这个类包含相连接的两个物体，它们之间具有作用力。
 
class Spring         
{          
public:
 Mass* mass1;        // 质点1
 Mass* mass2;        // 质点2

float springConstant;       // 弹性系数
 float springLength;       //弹簧长度
 float frictionConstant;       //摩擦系数

Spring(Mass* mass1, Mass* mass2,
  // 构造函数
  float springConstant, float springLength, float frictionConstant)
 {
  this->springConstant = springConstant;   
  this->springLength = springLength;    
  this->frictionConstant = frictionConstant;

this->mass1 = mass1;      
  this->mass2 = mass2;      
 }

void solve()        // 计算各个物体的受力
 {
  Vector3D springVector = mass1->pos - mass2->pos;  
  
  float r = springVector.length();     // 计算两个物体之间的距离

Vector3D force;       
  
  if (r != 0)       // 计算力
   force += -(springVector / r) * (r - springLength) * springConstant;
  ...

force += -(mass1->vel - mass2->vel) * frictionConstant;  // 加上摩擦力
  mass1->applyForce(force);      // 给物体1施加力
  mass2->applyForce(-force);      // 给物体2施加力
 }         
  
下面我们把绳子钉在墙上，所以我们的模拟就多了一个万有引力，空气摩擦力。万有引力的公式如下：

力 = (重力加速度) * 质量

万有引力会作用在每一个质点上，地面也会给每个物体一个作用力。在我们的模型中将考虑绳子和地面之间的接触，地面给绳子向上的力，并提供摩擦力。

设置模拟的初始值

现在我们已经设置好模拟环境了，长度单位是m，时间单位是秒，质量单位是kg。

为了设置初始值，我们必须提供供模拟开始的参数。我们定义一下参数：

1. 重力加速度: 9.81 m/s/s 垂直向下
2. 质点个数: 80
3. 相连质点的距离: 5 cm (0.05 meters)
4. 质量: 50 克(0.05 kg)
5. 绳子开始处于垂直状态

下面计算绳子受到的力

f = (绳子质量) * (重力加速度) = (4 kg) * (9.81) ~= 40 N

弹簧必须平衡这个力 40 N，它伸长1cm，计算弹性系数:

合力= -k * x = -k * 0.01 m

合力应该为0 :

40 N + (-k * 0.01 meters) = 0

弹性系数 k 为:

k = 4000 N / m

设置弹簧的摩擦系数:

springFrictionConstant = 0.2 N/(m/s)

下面我们看看这个绳索类：

1. virtual void init() --->  重置力

2. virtual void solve() --->  计算各个质点的力

3. virtual void simulate(float dt) --->  模拟一次

4. virtual void operate(float dt) --->  执行一次操作

绳索类如下所示 :  
  
class RopeSimulation : public Simulation     //绳索类
{
public:
 Spring** springs;       // 弹簧类结构的数组的指针

Vector3D gravitation;      // 万有引力

Vector3D ropeConnectionPos;      // 绳索的连接点
 
 Vector3D ropeConnectionVel;      //连接点的速度，我们使用这个移动绳子

float groundRepulsionConstant;     //地面的反作用力
 
 float groundFrictionConstant;     //地面的摩擦系数
 
 float groundAbsorptionConstant;     //地面的缓冲力
 
 float groundHeight;      //地面高度

float airFrictionConstant;      //空气的摩擦系数
  
下面是它的构造函数

RopeSimulation(        
  int numOfMasses,     
  float m,       
  float springConstant,     
  float springLength,      
  float springFrictionConstant,     
  Vector3D gravitation,      
  float airFrictionConstant,    
  float groundRepulsionConstant,    
  float groundFrictionConstant,    
  float groundAbsorptionConstant,    
  float groundHeight      
  ) : Simulation(numOfMasses, m)   
 {
  this->gravitation = gravitation;
  
  this->airFrictionConstant = airFrictionConstant;

this->groundFrictionConstant = groundFrictionConstant;
  this->groundRepulsionConstant = groundRepulsionConstant;
  this->groundAbsorptionConstant = groundAbsorptionConstant;
  this->groundHeight = groundHeight;

for (int a = 0; a < numOfMasses; ++a)    // 设置质点位置
  {
   masses[a]->pos.x = a * springLength;   
   masses[a]->pos.y = 0;     
   masses[a]->pos.z = 0;     
  }

springs = new Spring*[numOfMasses - 1];   
  
  for (a = 0; a < numOfMasses - 1; ++a)    //创建各个质点之间的模拟弹簧
  {
   springs[a] = new Spring(masses[a], masses[a + 1],
    springConstant, springLength, springFrictionConstant);
  }
 }

计算施加给各个质点的力

void solve()        // 计算施加给各个质点的力
 {
  for (int a = 0; a < numOfMasses - 1; ++a)   // 弹簧施加给各个物体的力
  {
   springs[a]->solve();     
  }

for (a = 0; a < numOfMasses; ++a)    // 计算各个物体受到的其它的力
  {
   masses[a]->applyForce(gravitation * masses[a]->m); // 万有引力
   // 空气的摩擦力
   masses[a]->applyForce(-masses[a]->vel * airFrictionConstant);

if (masses[a]->pos.y < groundHeight)   // 计算地面对质点的作用
   {
    Vector3D v;

v = masses[a]->vel;    // 返回速度
    v.y = 0;     // y方向的速度为0

// 计算地面给质点的力
    masses[a]->applyForce(-v * groundFrictionConstant);

v = masses[a]->vel;    
    v.x = 0;     
    v.z = 0;

if (v.y < 0)     // 计算地面的缓冲力

masses[a]->applyForce(-v * groundAbsorptionConstant);
    
    // 计算地面的反作用力
    Vector3D force = Vector3D(0, groundRepulsionConstant, 0) *
     (groundHeight - masses[a]->pos.y);

masses[a]->applyForce(force);   // 施加地面对质点的力
   }
  }
 }

下面的代码完成整个模拟过程

void simulate(float dt)      // 模拟一次
 {
  Simulation::simulate(dt);     // 调用基类的模拟函数

ropeConnectionPos += ropeConnectionVel * dt;   // 计算绳子的连接点

if (ropeConnectionPos.y < groundHeight)    
  {
   ropeConnectionPos.y = groundHeight;
   ropeConnectionVel.y = 0;
  }

masses[0]->pos = ropeConnectionPos;    // 更新绳子的连接点和速度
  masses[0]->vel = ropeConnectionVel;    
 }

void setRopeConnectionVel(Vector3D ropeConnectionVel)   
 {
  this->ropeConnectionVel = ropeConnectionVel;
 }

有了上面的类，我们可以很方便的模拟绳子，代码如下： 
  
RopeSimulation* ropeSimulation =
 new RopeSimulation(
  80,        // 80 质点
  0.05f,        // 每个质点50g
  10000.0f,        // 弹性系数
  0.05f,        // 质点之间的距离
  0.2f,        // 弹簧的内摩擦力
  Vector3D(0, -9.81f, 0),      // 万有引力
  0.02f,        // 空气摩擦力
  100.0f,        // 地面反作用系数
  0.2f,        // 地面摩擦系数
  2.0f,        // 地面缓冲系数
  -1.5f);        // 地面高度

下面的代码在程序中执行绳子的模拟 
  
float dt = milliseconds / 1000.0f;      // 经过的秒数

float maxPossible_dt = 0.002f;      // 模拟间隔

int numOfIterations = (int)(dt / maxPossible_dt) + 1;    // 模拟次数
if (numOfIterations != 0)       
 dt = dt / numOfIterations;

for (int a = 0; a < numOfIterations; ++a)     // 执行模拟
 ropeSimulation->operate(dt);
原文及其个版本源代码下载：

http://nehe.gamedev.net/data/lessons/lesson.asp?lesson=40