可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数_为什么矩阵的秩等于其行阶梯行矩阵非零行的行数？详细一点哈？谢了。...

行阶梯矩阵非零行的首非零元(个数=非零行数)所在的列是线性无关的, 且其余向量可由它们线性表示。

所以它们是A的列向量组的一个极大无关组。

所以A的列秩 = 非零行的行数

所以A的秩 = 非零行的行数

举例：

比如 A = (a1,a2,a3,a4) 经过初等行变换化成

1 2 3 4

0 0 1 5

0 0 0 0

那么 a1,a3 是线性无关的 [ 即行阶梯矩阵非零行的首非零元所在的列是线性无关的]

这个线性无关组含向量的个数是梯矩阵的非零行数

再把梯矩阵化成行简化梯矩阵

1 2 0 -11

0 0 1 5

0 0 0 0

就可能看出 a2 = 2a1, a4 = -11a1 + 5a3

即 a2,a4 可由a1,a3 线性表示

所以 a1,a3 是 a1,a2,a3,a4 的极大无关组

即 A 的列秩 = 2 (非零行数)

所以 A 的秩 = 2 (非零行数)

扩展资料：

在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。通俗一点说，如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。

在m*n矩阵A中，任意决定k行和k列交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为A的一个k阶子式。

例如，在阶梯形矩阵中，选定1，3行和3，4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式就是矩阵A的一个2阶子式。

A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A的秩，记作rA，或rankA或R(A)。

特别规定零矩阵的秩为零。

显然rA≤min(m,n) 易得：

若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r

由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n，通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵, det(A)≠0；不满秩矩阵就是奇异矩阵，det(A)=0。

由行列式的性质1(1.5[4])知，矩阵A的转置AT的秩与A的秩是一样的。

矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb};

当r(A)<=n-2时，最高阶非零子式的阶数<=n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。

当r(A)<=n-1时，最高阶非零子式的阶数<=n-1，所以n-1阶子式有可能不为零，所以伴随阵有可能非零(等号成立时伴随阵必为非零)。

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