图像处理复习笔记：

1、证明一个系统是线性系统
2、证明函数卷积的傅里叶变换等于函数傅氏变换后的乘积
3、采样定理与混叠
4、直方图均衡化
第一节课知识点
第二节课知识点
第三节课知识点
第四节课知识点
第五节课知识点
第六节课知识点
第七节课知识点
第八节课知识点
第九节课知识点

1、证明一个系统是线性系统

如二维连续傅里叶变换
F(u,v)=∫−∞+∞∫−∞+∞f(x,y)e2πj(ux+vy)dxdyF(u,v)=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)e^{2\pi j(ux+vy)}dxdyF(u,v)=∫−∞+∞∫−∞+∞f(x,y)e2πj(ux+vy)dxdy
证明：
∫−∞+∞∫−∞+∞(Kafa(x,y)+Kbfb(x,y))e2πj(ux+vy)dxdy=Ka∫−∞+∞∫−∞+∞fa(x,y)e2πj(ux+vy)dxdy+KB∫−∞+∞∫−∞+∞fb(x,y)e2πj(ux+vy)dxdy=KaFa(u,v)+KbFb(u,v)\begin{aligned} &\qquad \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}(K_af_a(x,y)+K_bf_b(x,y))e^{2\pi j(ux+vy)}dxdy\\ &=K_a\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f_a(x,y)e^{2\pi j(ux+vy)}dxdy+K_B\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f_b(x,y)e^{2\pi j(ux+vy)}dxdy\\ &=K_aF_a(u,v)+K_bF_b(u,v) \end{aligned} ∫−∞+∞∫−∞+∞(Kafa(x,y)+Kbfb(x,y))e2πj(ux+vy)dxdy=Ka∫−∞+∞∫−∞+∞fa(x,y)e2πj(ux+vy)dxdy+KB∫−∞+∞∫−∞+∞fb(x,y)e2πj(ux+vy)dxdy=KaFa(u,v)+KbFb(u,v)得证。

其他一些属于：
1、参数固定系统(fixed-parameter system)：对于任意的x0x_0x0，有
g(x+x0)=H[f(x+x0)]g(x+x_0)=H[f(x+x_0)]g(x+x0)=H[f(x+x0)]
当x表示时间时，即为时不变系统。
2、因果系统(causal system)：当且仅当输入信号时，系统才会响应，即对于x0x_0x0，如果有x<x0x<x_0x<x0，则
f(x)=0,g(x)=H[f(x)]=0f(x)=0,\quad g(x)=H[f(x)]=0 f(x)=0,g(x)=H[f(x)]=0
3、稳定系统(stable system)
∣f(x)∣<K,∣g(x)∣<cK|f(x)|<K,\quad |g(x)|<cK∣f(x)∣<K,∣g(x)∣<cK

2、证明函数卷积的傅里叶变换等于函数傅氏变换后的乘积

即证明：
F[f(x)⋆g(x)]=F(u)G(u)F[f(x)g(x)]=F(u)⋆G(u)\mathscr F[f(x)\star g(x)]=F(u)G(u)\\ \mathscr F[f(x)g(x)]=F(u)\star G(u) F[f(x)⋆g(x)]=F(u)G(u)F[f(x)g(x)]=F(u)⋆G(u)
证明：
F[f(x)⋆g(x)]=∫−∞+∞[∫−∞+∞f(α)g(x−α)dα]e−2πjuxdx=∫−∞+∞f(α)[∫−∞+∞g(x−α)e−2πjuxdx]dα=∫−∞+∞f(α)[G(u)e−2πjuα]dα=G(u)∫−∞+∞f(α)e−2πjuαdα=G(u)F(u)\begin{aligned} F[f(x)\star g(x)]&=\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\int_{-\infty}^{+\infty}f(\alpha)g(x-\alpha)d\alpha \right]e^{-2\pi jux}dx\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}f(\alpha)\left[\int_{-\infty}^{+\infty}g(x-\alpha)e^{-2\pi jux}dx \right]d\alpha\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}f(\alpha)\left[G(u)e^{-2\pi ju\alpha} \right]d\alpha\\ &=G(u) \int_{-\infty}^{+\infty}f(\alpha)e^{-2\pi ju\alpha} d\alpha\\ &=G(u)F(u) \end{aligned} F[f(x)⋆g(x)]=∫−∞+∞[∫−∞+∞f(α)g(x−α)dα]e−2πjuxdx=∫−∞+∞f(α)[∫−∞+∞g(x−α)e−2πjuxdx]dα=∫−∞+∞f(α)[G(u)e−2πjuα]dα=G(u)∫−∞+∞f(α)e−2πjuαdα=G(u)F(u)

3、采样定理与混叠

采样：利用单位脉冲函数进行采样，设原函数为f(x)f(x)f(x)，采样后的函数为f~(x)\tilde f(x)f~(x)
f~(x)=f(t)SΔT(t)=∑n=−∞+∞f(t)δ(t−nΔT)F~(μ)=1ΔT∑n=−∞+∞F(μ−nΔT)\tilde f(x)=f(t)S_{\Delta T}(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}f(t)\delta(t-n\Delta T)\\ \tilde F(\mu)=\frac{1}{\Delta T}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}F(\mu -\frac{n}{\Delta T}) f~(x)=f(t)SΔT(t)=n=−∞∑+∞f(t)δ(t−nΔT)F~(μ)=ΔT1n=−∞∑+∞F(μ−ΔTn)

采样定理：如果以超过信号最高频率2倍的取样率来得到样本，那么连续带限信号能够完全由其样本集合复原。记：
1ΔT>2μmax\frac{1}{\Delta T}>2\mu_{max} ΔT1>2μmax
混叠：指取样后不同信号变得无法区分的取样现象
空间采样：必须保证图像细节占两个像素

4、直方图均衡化

步骤：
①、统计灰度值的频率
pr(rk)=nkMNp_r(r_k)=\frac{n_k}{MN} pr(rk)=MNnk
②、按照灰度值大小进行排序
③、对每个灰度值对于的像素进行变换
s=T(r)=(L−1)∫0rpr(w)dws=T(r)=(L-1)\int_0^rp_r(w)dws=T(r)=(L−1)∫0rpr(w)dw
作用：增强图像对比度。

理论上来说，当灰度值连续时一定可以得到均匀的直方图，但图像灰度是离散的。另外，只有当图像包含所有灰度值时均衡化之后才能重建图像。

以下内容来自chatGPT:
图像直方图均衡化是一种图像处理技术，通过改变图像的亮度分布来增强图像的对比度。下面是直方图均衡化的一般步骤：

1、计算图像的直方图。
2、计算图像的累积分布函数。
3、根据累积分布函数计算每个像素的新值。
4、将每个像素的新值映射到图像的灰度级上。
5、重新绘制图像。

第一节课知识点

1、二维图像：是一个像素阵列、是一个矩阵、是一个曲面（经过平滑处理）。
2、图像处理的重要性：①改善图像视觉效果，便于人们理解；②为储存、传输和表示对图像进行处理便于机器理解；③获得图像底层视觉；
3、光子能力普朗克定律：E=hv=hcλE=hv=h\frac{c}{\lambda}E=hv=hλc，频率越高，能力越大，可见光波长范围约为400-700nm（紫-红）。
4、图像格式：
①PBM:portable bitmap format 二值图像
②PGM:portable graymap format 灰度图像
③PPM:portable pixmap format 像素图像（彩色）
5、常用成像设备：CCD（电荷耦合器件）、CMOS（互补金属氧化物半导体）
6、采样与量化：空间离散化（由物理像素决定）其反应光子的分布、灰度离散化（由模拟-数字转换决定）其反应光子的数量。
7、像素的位深度：8比特位深度，灰度值范围为0~255。
8、彩色模型：
①RGB模型：即red/ green/ blue三原色（光的三原色）
②CYM模型：即cyan/ yellow/ magenta（颜料三原色）
③CYMK模型：在CYM基础上加black，原因是CYM产生的黑色不纯。适合于打印。
③HSI模型：即hue/ saturation/ intensity（色调、饱和度、强度）H控制颜色成分，S控制颜色占比，I控制颜色亮度。

第二节课知识点

1、像素运算：
①算术运算：加减乘除
②集合运算：交并补差
③逻辑运算：与或非
④集合变换：复制、缩放、旋转、平移、垂直剪切、水平剪切
[x′y′1]=A[xy1]=[a11a12a13a21a22a23001][xy1]\begin{bmatrix} x'\\ y'\\ 1 \end{bmatrix}=A\begin{bmatrix} x\\ y\\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_{11}& a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ 0 & 0 &1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y\\ 1 \end{bmatrix} ⎣⎡x′y′1⎦⎤=A⎣⎡xy1⎦⎤=⎣⎡a11a210a12a220a13a231⎦⎤⎣⎡xy1⎦⎤
[cx000cy0001]缩放[cosθ−sinθ0sinθcosθ0001]旋转[10tx01ty001]平移[1sv0010001]剪切v[100sh10001]剪切h\begin{bmatrix} c_x & 0 & 0\\ 0& c_y & 0\\ 0 & 0 &1 \end{bmatrix}_{缩放} \begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta& 0\\ sin\theta& cos\theta & 0\\ 0 & 0 &1 \end{bmatrix}_{旋转}\begin{bmatrix} 1& 0 & t_x\\ 0& 1 & t_y\\ 0 & 0 &1 \end{bmatrix}_{平移}\begin{bmatrix} 1& s_v & 0\\ 0& 1 & 0\\ 0 & 0 &1 \end{bmatrix}_{剪切v}\begin{bmatrix} 1& 0& 0\\ s_h& 1 & 0\\ 0 & 0 &1 \end{bmatrix}_{剪切h} ⎣⎡cx000cy0001⎦⎤缩放⎣⎡cosθsinθ0−sinθcosθ0001⎦⎤旋转⎣⎡100010txty1⎦⎤平移⎣⎡100sv10001⎦⎤剪切v⎣⎡1sh0010001⎦⎤剪切h

第三节课知识点

1、点扩散函数：点扩散函数psf(point spread function)是成像系统对点光源的响应，一般复杂图像可以表示为一个真实图像与psf的卷积。
T(x,y)=O(x,y)⋆psf(x,y)F{I(X,Y)}=F{O(x,y)}⋅F{psf(x,y)}=F{O(x,y)}⋅OTF(⋅)T(x,y)=O(x,y)\star psf(x,y) \\F\{I(X,Y)\}=F\{O(x,y)\}\cdot F\{psf(x,y)\}=F\{O(x,y)\}\cdot OTF(\cdot) T(x,y)=O(x,y)⋆psf(x,y)F{I(X,Y)}=F{O(x,y)}⋅F{psf(x,y)}=F{O(x,y)}⋅OTF(⋅)
OTFOTFOTF被称作光学传递函数，是psfpsfpsf的傅氏变换。
2、图像模型：
①g(x,y)=f(x,y)⋆h(x,y)+η(x,y)g(x,y)=f(x,y)\star h(x,y) + \eta (x,y)g(x,y)=f(x,y)⋆h(x,y)+η(x,y)，指图像f(x,y)f(x,y)f(x,y)经过衰减和加噪声变成g(x,y)g(x,y)g(x,y)。
②f(x,y)=i(x,y)r(x,y)c(x,y)f(x,y)=i(x,y)r(x,y)c(x,y)f(x,y)=i(x,y)r(x,y)c(x,y)，i(0→∞)i(0\to \infty)i(0→∞)为光照函数，r(0→1)r(0\to 1)r(0→1)为反射函数，c(0→1)c(0\to 1)c(0→1)为系数。
3、图像空间域滤波：一个图像滤波器可以描述为一个线性系统（卷积就是线性运算）
①均值滤波：窗口(W)(W)(W)越大，高频信号衰减越快。
②高斯滤波：高斯函数连续可导、可分、傅氏变换任为高斯函数（不会出现振铃现象）

4、图像频率域滤波：
①理想低通滤波器ILPF（有振铃现象）
②高斯低通滤波器GLPF
③巴特沃斯低通滤波器BLPF（阶数越高越接近ILPF，故高阶时会导致出现振铃现象）

第四节课知识点

4、图像的二维离散傅氏变换：
二维连续傅里叶变换：
F(u,v)=∫−∞+∞f(t,z)e−j2π(ut+vz)dtdzf(t,z)=∫−∞+∞F(u,v)ej2π(ut+vz)dudvF(u,v)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t,z)e^{-j2\pi (ut+vz)}dtdz\\ f(t,z)=\int_{-\infty}^{+\infty}F(u,v)e^{j2\pi (ut+vz)}dudv F(u,v)=∫−∞+∞f(t,z)e−j2π(ut+vz)dtdzf(t,z)=∫−∞+∞F(u,v)ej2π(ut+vz)dudv二维离散傅里叶变换：
F(u,v)=∑x=0M−1∑y=0N−1f(x,y)e−j2π(ux/M+y/N)f(x,y)=1MN∑u=0M−1∑v=0N−1F(u,v)ej2π(ux/M+y/N)F(u,v)=\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-j2\pi (ux/M+y/N)}\\ f(x,y)=\frac{1}{MN}\sum_{u=0}^{M-1}\sum_{v=0}^{N-1}F(u,v)e^{j2\pi (ux/M+y/N)} F(u,v)=x=0∑M−1y=0∑N−1f(x,y)e−j2π(ux/M+y/N)f(x,y)=MN1u=0∑M−1v=0∑N−1F(u,v)ej2π(ux/M+y/N)
①频谱(sprctrum)：∣F(u,v)∣=[R2+I2]1/2|F(u,v)|=[R^2+I^2]^{1/2}∣F(u,v)∣=[R2+I2]1/2
②功率谱(power sprctrum)：P(u,v)=∣F(u,v)∣2P(u,v)=|F(u,v)|^2P(u,v)=∣F(u,v)∣2
③离散傅里叶变换的卷积（注意共轭）：
F[f(x,y)⋆g(x,y)]=F∗(u,v)G(u,v)F[f∗(x,y)g(x,y)]=F(u,v)⋆G(u,v)\mathscr F[f(x,y)\star g(x,y)]=F^*(u,v)G(u,v)\\ \mathscr F[f^*(x,y)g(x,y)]=F(u,v)\star G(u,v) F[f(x,y)⋆g(x,y)]=F∗(u,v)G(u,v)F[f∗(x,y)g(x,y)]=F(u,v)⋆G(u,v)
5、图像的二维离散傅氏逆变换：
f(x,y)=1MN∑u=0M−1∑v=0N−1F(u,v)ej2π(ux/M+y/N)⇓MNf∗(x,y)=∑u=0M−1∑v=0N−1F∗(u,v)e−j2π(ux/M+y/N)f(x,y)=\frac{1}{MN}\sum_{u=0}^{M-1}\sum_{v=0}^{N-1}F(u,v)e^{j2\pi (ux/M+y/N)}\\ \Downarrow \\ MNf^*(x,y)=\sum_{u=0}^{M-1}\sum_{v=0}^{N-1}F^*(u,v)e^{-j2\pi (ux/M+y/N)} f(x,y)=MN1u=0∑M−1v=0∑N−1F(u,v)ej2π(ux/M+y/N)⇓MNf∗(x,y)=u=0∑M−1v=0∑N−1F∗(u,v)e−j2π(ux/M+y/N)
可以利用傅里叶变换计算傅里叶逆变换。

6、傅里叶变换的中心化：
f(x,y)(−1)x+y⟺F(u−M/2,v−N/2)f(x,y)(-1)^{x+y}\Longleftrightarrow F(u-M/2,v-N/2) f(x,y)(−1)x+y⟺F(u−M/2,v−N/2)
7、离散傅里叶变换时间复杂度：
二维dft时间复杂度：(MN)2(MN)^2(MN)2
二维dft（行列拆分）时间复杂度：2MN2MN2MN
二维fft时间复杂度：MNlog2(MN)MNlog_2(MN)MNlog2(MN)

8、经典图像滤波算子：
①拉普拉斯算子
▽2f(x,y)=f(x+1,y)+f(x−1,y)+f(x,y+1)+f(x,y−1)−4f(x,y)\bigtriangledown ^2f(x,y)=f(x+1,y)+f(x-1,y)+f(x,y+1)+f(x,y-1)-4f(x,y) ▽2f(x,y)=f(x+1,y)+f(x−1,y)+f(x,y+1)+f(x,y−1)−4f(x,y)
②Roberts算子：[−1001][0−110]\begin{bmatrix} -1 & 0\\ 0 &1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0\end{bmatrix}[−1001][01−10]

③Sobel算子：[−1−2−1000121][−101−202−101]\begin{bmatrix} -1 & -2 & -1\\ 0 & 0 & 0\\ 1 & 2 &1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -1 & 0 & 1\\ -2 & 0 & 2\\ -1 & 0 &1 \end{bmatrix}⎣⎡−101−202−101⎦⎤⎣⎡−1−2−1000121⎦⎤
④Prewitt算子：[−101−101−101][−1−1−1000111]\begin{bmatrix} -1 & 0 & 1\\ -1 & 0 & 1\\ -1 & 0 &1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -1 & -1 & -1\\ 0 & 0 & 0\\ 1 & 1 &1 \end{bmatrix}⎣⎡−1−1−1000111⎦⎤⎣⎡−101−101−101⎦⎤
⑤Scharr算子：[−303−10010−303][−3−10−30003103]\begin{bmatrix} -3 & 0 & 3\\ -10 & 0 & 10\\ -3 & 0 &3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -3 & -10 & -3\\ 0 & 0 & 0\\ 3 & 10 &3 \end{bmatrix}⎣⎡−3−10−30003103⎦⎤⎣⎡−303−10010−303⎦⎤

第五节课知识点

1、采样定理示例：
单个像素对于实际物体尺寸=像素尺寸×放大倍数=像素尺寸×与物体距离焦距单个像素对于实际物体尺寸=像素尺寸\times 放大倍数=像素尺寸\times \frac{与物体距离}{焦距} 单个像素对于实际物体尺寸=像素尺寸×放大倍数=像素尺寸×焦距与物体距离
数字孔径Numerical aperture (NA)：
NA=n⋅sin(α)NA=n\cdot sin(\alpha)NA=n⋅sin(α)其是一个衡量元件光聚集能力的物理量，其中nnn是介质折射率，α\alphaα是光从透镜光瞳射出的半锥角。
F#F\#F#也是衡量镜头光通量的指标，其定义为：
F#=fDF\#=\frac{f}{D}F#=Df其中fff为焦距，DDD为直径，由几何关系可以得到：α=arctan(D2f)\alpha=arctan(\frac{D}{2f})α=arctan(2fD)空气的折射率近似为n=1n=1n=1，则可以推导出：NA=sin(arctan(12F#))≈12F#NA=sin(arctan(\frac{1}{2F\#}))\approx \frac{1}{2F\#}NA=sin(arctan(2F#1))≈2F#1分辨率的计算式为(Rayleigh limit)：D=0.61λNAD=\frac{0.61\lambda}{NA}D=NA0.61λ由上面推导可以看出，图像分辨率只与光学系统本身相关，与像素、放大倍数等无关。如果分辨率大于两倍的单个像素尺寸，则说明满足空间采样频率要求（采样频率主要由放大倍数决定），即一个分辨率内至少需要采样两次才能保证图像质量。

2、不同的频率域滤波器：
①Lowpass filter 低通
②Highpass filter 高通
③Bandreject filter 带阻（高通加低通）
④Bandpass filter 带通

3、正交变换：

4、距离变换：
①欧几里得(Euclidean)距离 D=(x2−x1)2+(y2−y1)2D=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}D=(x2−x1)2+(y2−y1)2
②曼哈顿(Manhattan)距离（街区距离） D=∣x2−x1∣+∣y2−y1∣D=\left | x_2-x_1 \right |+\left | y_2-y_1 \right |D=∣x2−x1∣+∣y2−y1∣
③切比雪夫(Chebyshev)距离（棋盘距离）D=max(∣x2−x1∣,∣y2−y1∣)D=max(\left | x_2-x_1 \right |,\left | y_2-y_1 \right |)D=max(∣x2−x1∣,∣y2−y1∣)
④豪斯多夫(Hausdorff)距离 D=max{supx∈Xinfy∈Yd(x,y),supy∈Yinfx∈Xd(x,y)}D=max\{\mathop{sup}\limits_{x\in X}\,\mathop{inf}\limits_{y\in Y}\,d(x,y),\mathop{sup}\limits_{y\in Y}\,\mathop{inf}\limits_{x\in X}\,d(x,y)\}D=max{x∈Xsupy∈Yinfd(x,y),y∈Ysupx∈Xinfd(x,y)}

二值图像距离变换对噪声非常敏感。

第六节课知识点

1、图像的特征值（奇异值）分解：
特征值分解A=PDP−1A=PDP^{-1}A=PDP−1，奇异值分解A=UΣVTA=U\Sigma V^TA=UΣVT，其中有：A∈Rn×m，Σ∈Rn×m，UUT=In×n，VTV=Im×mA\in R^{n\times m}，\Sigma \in R^{n\times m}，UU^T=I_{n\times n}，V^TV=I_{m\times m}A∈Rn×m，Σ∈Rn×m，UUT=In×n，VTV=Im×m对一个图像BBB左乘C=ABC=ABC=AB相当于做旋转-拉伸-旋转三次变换，即：C=UΣVTBC=U\Sigma V^TBC=UΣVTB。

图像的SVD逼近：
A=UΣVT=[u1,⋯,ur][σ1⋱σr][v1T⋮vrT]=u1σ1v1T+⋯+urσrvrT=∑i=1ruiσiviT=∑i=1rAi\begin{aligned} A&=U\Sigma V^T\\ &=\left [ u_1,\cdots ,u_r \right ] \begin{bmatrix} \sigma_1& & \\ &\ddots& \\ & &\sigma_r \end{bmatrix}\begin{bmatrix} v_1^T \\ \vdots \\ v_r^T \end{bmatrix}\\ &=u_1\sigma_1v_1^T+\cdots+u_r\sigma_rv_r^T\\ &=\sum_{i=1}^ru_i\sigma_iv_i^T\\ &=\sum_{i=1}^rA_i \end{aligned} A=UΣVT=[u1,⋯,ur]⎣⎡σ1⋱σr⎦⎤⎣⎢⎡v1T⋮vrT⎦⎥⎤=u1σ1v1T+⋯+urσrvrT=i=1∑ruiσiviT=i=1∑rAi由此可以看出，图像可以看作秩为1的矩阵加权和。应用：图像逼近、压缩、去噪

2、图像的空间描述：
图像的邻接性（4邻接、8邻接）、连通性（4连通、8连通、混合m连通）、前景、背景、边界。
图像边界跟踪算法。。。

3、图像的统计描述：
对于i→p(i)i\to p(i)i→p(i)，有
①均值(mean)： ∑ip(i)\sum ip(i)∑ip(i)
②方差(variance)： ∑(i−μ)2p(i)\sum (i-\mu)^2p(i)∑(i−μ)2p(i)
③偏度(Skewness)： ∑(i−μ)3p(i)\sum (i-\mu)^3p(i)∑(i−μ)3p(i)
④峰度(Kurtosis)： ∑(i−μ)4p(i)\sum (i-\mu)^4p(i)∑(i−μ)4p(i)
⑤均匀度(uniformity)： ∑p2(i)\sum p^2(i)∑p2(i)
⑥交叉熵(entropy)： ∑p(i)log2p(i)\sum p(i)log_2p(i)∑p(i)log2p(i)

4、随机场用于图像分割：
马尔可夫随机场
吉布斯随机场
条件随机场
高斯随机场

5、图像的图表示：

第七节课知识点

1、图像增强：
①目的：采样一系列技术去改善图像的视觉效果，或者将图像转换成一种更适合人或机器进行分析和处理的形式，例如有选择地突出感兴趣的信息，抑制不需要的信息，提高图像的使用价值。
②方法：
灰度变换
1、线性变换（可以扩大灰度值范围，拉伸对比度）
2、分段线性变换（抑制和突出部分区域）
3、反转变换s=L−rs=L-rs=L−r
4、对数变换
5、指数变换
6、伽马变换s=crγs=cr^\gammas=crγ
直方图调整法
1、均衡化
2、规定化
①对原始图像做直方图均衡化处理
②按照希望得到的图像的灰度概率密度函数pz(z)p_z(z)pz(z)，求得变换函数G(z)G(z)G(z)；
③用步骤1得到的灰度级s做逆变换z=G−1(s)z=G^{-1}(s)z=G−1(s)。
经过以上处理得到图像的灰度级将具有规定的概率密度函数pz(z)p_z(z)pz(z)。
模板运算
模板保持不变时即为卷积运算。
1、均值滤波
改进：
①超限像素平滑法
②灰度k近邻平均法
③最大均匀性平滑
④有选择保边缘平滑法

2、中值滤波（非线性）对脉冲干扰和椒盐噪声抑制效果好。

伪彩色增强
1、密度分割法
2、灰度级彩色变换（进行红变换、绿变换、蓝变换然后合成）
3、频率域伪彩色增强：对原灰度图像中的不同频率分量赋予不同颜色

彩色图像增强
1、假彩色增强：对原色彩通过映射变成新的颜色，使之呈现出与人眼色觉相匹配的颜色。
2、真彩色增强：将RGB分量转换成ISH分量，利用灰度增强方法对ISH某个分量进行增强，再将结果转为RGB。

图像代数运算
对两幅图像进行加减乘除操作
1、加：消除随机加性噪声（噪声与图像信号强度不相关）、生成图像叠加效果；
2、减：背景消除、动态监测、运动检测；
3、乘：用模板对图像进行处理，例如部分掩盖；

第八节课知识点

1、膨胀：
A⊕B={x∣[(B^)x∩A]≠ϕ}A\oplus B=\{x|[(\hat B)_x\cap A]\ne \phi \}A⊕B={x∣[(B^)x∩A]=ϕ}A被B膨胀是所有位移x的集合，B的映射与A至少有一个元素是重叠的。
作用：
1）使目标扩展
2）平滑物体边界（背景变成目标）
3）连接狭窄断开
4）去除小孔

2、腐蚀：
A⊖B={x∣(B)x⊆A}A\ominus B=\{x|(B)_x\subseteq A \}A⊖B={x∣(B)x⊆A}A被B腐蚀是所有位移x的集合，其中B平移x后B仍包含于A中。
作用：
1）使目标收缩
2）平滑物体边界（目标变成背景）
3）断开狭长连接
4）去除细长突出物

3、开运算：
A∘B=(A⊖B)⊕BA\circ B=(A\ominus B)\oplus BA∘B=(A⊖B)⊕B先腐蚀后膨胀。同一结构元对图像做多次开运算只有一次有效。
4、闭运算：
A∙B=(A⊕B)⊖BA\bullet B=(A\oplus B)\ominus BA∙B=(A⊕B)⊖B先膨胀后腐蚀。开运算与闭运算可以在不明显改变目标面积时平滑目标边缘。

先做开运算后做闭运算可以构成一个噪声滤波器，如对一张指纹图像来说：
腐蚀（去背景噪声）——膨胀（恢复指纹粗细）——膨胀（连接断线）——腐蚀（恢复粗细）

5、击中或击不中变换：

形态学的应用
1、边界提取：
β(A)=A−(A⊖B)\beta (A)=A-(A\ominus B)β(A)=A−(A⊖B)即A减去A的腐蚀。

2、区域填充：
迭代算法：
Xk+1=(Xk⊕B)∩ACk=1,2,3⋯X_{k+1}=(X_k\oplus B)\cap A^C\quad k=1,2,3\cdotsXk+1=(Xk⊕B)∩ACk=1,2,3⋯

3、连通分量提取：
迭代算法：
Xk+1=(Xk⊕B)∩Ak=1,2,3⋯X_{k+1}=(X_k\oplus B)\cap A\quad k=1,2,3\cdotsXk+1=(Xk⊕B)∩Ak=1,2,3⋯

4、凸包：
凸包简单来说是指能包住图像的凸集。

5、细化：
A⊗B=A−(A⊛B){B}={B1,B2,⋯,B8}A⊗{B}=((⋯((A⊗B1)⊗B2)⋯)⊗Bn)A\otimes B=A-(A\circledast B)\\ \{B\}=\{B^1,B^2,\cdots,B^8\}\\ A\otimes \{B\}=((\cdots((A\otimes B^1)\otimes B^2)\cdots)\otimes B^n)A⊗B=A−(A⊛B){B}={B1,B2,⋯,B8}A⊗{B}=((⋯((A⊗B1)⊗B2)⋯)⊗Bn)

6、粗化：
A⊙B=A∪(A⊛B){B}={B1,B2,⋯,B8}A⊙{B}=((⋯((A⊙B1)⊙B2)⋯)⊙Bn)A\odot B=A\cup (A\circledast B)\\\{B\}=\{B^1,B^2,\cdots,B^8\}\\ A\odot \{B\}=((\cdots((A\odot B^1)\odot B^2)\cdots)\odot B^n)A⊙B=A∪(A⊛B){B}={B1,B2,⋯,B8}A⊙{B}=((⋯((A⊙B1)⊙B2)⋯)⊙Bn)

7、骨架：
主要用到腐蚀与开运算
S(A)=⋃k=0KSk(A)Sk(A)=(A⊖kB)−(A⊖kB)∘BK=max{k∣(A⊖kB)≠ϕ}S(A)=\bigcup_{k=0}^{K}S_k(A) \\ S_k(A)=(A\ominus kB)-(A\ominus kB)\circ B\\ K=max\{k|(A\ominus kB)\ne \phi \} S(A)=k=0⋃KSk(A)Sk(A)=(A⊖kB)−(A⊖kB)∘BK=max{k∣(A⊖kB)=ϕ}其中(A⊖kB)(A\ominus kB)(A⊖kB)表示连续做k次腐蚀运算。
恢复：
A=⋃k=0K(Sk(A)⊕kB)A=\bigcup_{k=0}^{K}(S_k(A)\oplus kB)A=k=0⋃K(Sk(A)⊕kB)
变体：
做腐蚀操作时，不立即删除像素，只打标记，在不破坏连通性时将标记点删除。

距离变换
串行距离算法：

基于距离变换的骨架提取：
①求二值图像的边界
②对二值图像求取距离变换
③求距离变换图中的局部极大值
④落入原二值图像中的局部极大值就是图像的骨架

8、裁剪：

第九节课知识点

考完了……
寄了，有一些知识点没复习到，比如说采样定理的证明、巴特沃斯滤波器公式、自适应中值滤波等等。（下次老师说不用背公式，谁信谁天真）

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