星座图中格雷映射及其实现
在数字信号的调制中，AWGN信道下，星座图一般是采用gray code 进行编码。
本文讲述格雷码的概念及其分析在星座图中格雷编码映射的必要性，最后给出其Python 代码实现。
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格雷码
先了解一下gray code 的概念：格雷码是二进制数字系统的一种排序方式，使得两个连续值在比特级别上仅仅相差一位。
例如：十进制的1 在自然二进制中的表示通常为001，而2将被编码为010。对应的格雷码为001和011。这样，将一个值从1递增至2
对应的编码仅仅需要更改一位比特，而不是两位。
格雷码广泛用于数字通信系统中的纠错1。
- k k k 位二进制数的格雷码序列可以当作 k k k 维空间中的一个超立方体（二维里的正方形，一维里的单位向量)顶点的哈密尔顿回路，其中格雷码的每一位代表一个维度的坐标。
格雷星座映射
在QAM等数字调制方案中，数据通常以4 位或更多位的符号传输，信号的星座图被安排为使得相邻星座点传送的位模式仅相差一位。通过将其与能够纠正单个比特错误的信道编码结合，接收器可以纠正任何导致星座点偏离到相邻点区域的传输错误。这使得传输系统不易受噪声影响。
例如4QAM信号，其自然映射和格雷星座映射为:
| :–: | :–: | :–: | :–: |
|---|---|---|---|
| 数据比特 | 十进制 | 自然映射 | 格雷映射 |
00
|
0
|
-1-1j
|
-1-1j
|
01
|
1
|
-1+1j
|
-1+1j
|
10
|
2
|
1+1j
|
1-1j
|
11
|
3
|
1-1j
|
1+1j
|
假设AWGN信道下，某码元发送10 数据比特，接收端采用最大似然判决 y = x + n y=x+n y=x+n, x ^ = arg min x ∣ ∣ y − x ∣ ∣ \hat{x}=\arg\min_x ||y-x|| x^=argminx∣∣y−x∣∣ ，采用不同映射，有以下情形：
- 自然：对应发送
1+1j，有 P 1 P_1 P1 的概率被判决为1-1j(即判为11,误比特数1个), P 1 P_1 P1的 概率被判决为01（误比特2个）, P 2 ( P 2 < P 1 ) P_2(P_2<P_1) P2(P2<P1) 的概率被判决为00(误比特1个) ，那么平均误比特 3 P 1 + P 2 3P_1+P_2 3P1+P2 个 - 格雷：对应发送
1-1j, P 1 P_1 P1 的概率判决为11和00，均误比特1个， P 2 P_2 P2的概率判为01,误比特 2 P 1 + 2 P 2 2P_1+2P_2 2P1+2P2 - 3 P 1 + P 2 > 2 P 1 + 2 P 2 3P_1+P_2>2P_1+2P_2 3P1+P2>2P1+2P2
发送其余数据比特时，情形类似。可以发现AWGN信道下格雷映射方案的BER性能是优于自然映射的。相比于正常二进制映射，使用格雷码可以降低总体错误率。这也是星座映射采用格雷映射的原因。
格雷码的构造2
我们观察以下 n n n 维的二进制和其格雷码 G ( n ) G(n) G(n)。如果 G ( n ) G(n) G(n) 的二进制第 i i i 位为1，仅当 n n n 的二进制第 i i i 位为 1,第 i + 1 i+1 i+1 位为 0 0 0 或者 第 i i i 位为 0 ,第 i + 1 i+1 i+1 位为 1。于是可以当成一个异或运算：
G ( n ) = n ⊕ ⌊ n 2 ⌋ G(n)=n\oplus \lfloor\frac{n}{2}\rfloor G(n)=n⊕⌊2n⌋
int g(int n) { return n ^ (n >> 1); }
代码实现
- 二维QAM格雷映射基于这样一种思想: 如果每一维是格雷映射的，那么他们的笛卡尔积也是格雷的。即两个gray mapping 的PAM映射组合起来就是QAM gray mapping.
- 二维的PSK gray mapping 和一维PAM gray mapping 类似。
Python 实现
import numpy as np
def qam_constellation(M,normalize=False):""" M must be 2^k ,where k is an even integergray mappingparam:- M: the size of qam set- normalize: normalize the average energy qam symbols unitreturn:1-D numpy array"""assert np.log2(M).is_integer()m = int(np.sqrt(M))x = np.zeros(m,np.int32) # gray mapping binding to natural numbery = np.zeros(m,np.int32) # mappping natural number to gray code in octalnatural2gray = lambda x: x ^ (x >> 1)x[natural2gray(np.arange(0, m))] = np.arange(0, 2*m,2) -m+1y[natural2gray(np.arange(0, m))] = np.arange(0, 2*m,2) -m+1constellation = np.zeros((m, m), dtype=np.cfloat)for i in range(m):for j in range(m):constellation[i][j] = (x[i]+1j* y[j])if normalize:return constellation.flatten()/(np.linalg.norm(constellation)/m)else:return constellation.flatten()def psk_constellation(M):""" gray mappingparam:- M: the size of psk set- normalize: normalize the average energy qam symbols unitreturn:1-D numpy array"""phase = np.arange(0, M) * 2 * np.pi / Mconstellation = np.zeros(M, dtype=np.cfloat)natural2gray = lambda x: x ^ (x >> 1)constellation[natural2gray(np.arange(0, M))] = np.exp(1j * phase)return constellationdef mapping(data, constellation):"""param:- data: binary data in 1-D numpy array- constellation: 1-D numpy arrayreturn:1-D numpy array"""M = len(constellation)assert np.log2(M).is_integer()assert len(data) % np.log2(M) == 0data = data.reshape(-1, int(np.log2(M)))mask = np.array([2**i for i in range(int(np.log2(M))-1, -1, -1)]) # [8,4,2,1]index = np.sum(data * mask, axis=1) # left firstreturn constellation[index]if __name__ == "__main__":qam_16 = qam_constellation(16)psk_4 = psk_constellation(4)print(qam_16)print(psk_4)binary_data = np.random.randint(0, 2, 128)psk_symbols = mapping(binary_data, psk_4)qam_symbols = mapping(binary_data, qam_16)print(psk_symbols)print(qam_symbols)
gray code wiki ↩︎
格雷码 ↩︎
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