96. Unique Binary Search Trees 不同的二叉搜索树
Title
给定一个整数 n,求以 1 … n 为节点组成的二叉搜索树有多少种?
示例:
输入: 3
输出: 5
解释:
给定 n = 3, 一共有 5 种不同结构的二叉搜索树:
1 3 3 2 1\ / / / \ \3 2 1 1 3 2/ / \ \2 1 2 3
动态规划
Solve
给定一个有序序列 1⋯n,为了构建出一棵二叉搜索树,我们可以遍历每个数字 i,将该数字作为树根,将 1⋯(i−1) 序列作为左子树,将 (i+1)⋯n 序列作为右子树,接着按照同样的方式递归构建左子树和右子树。
在上述构建的过程中,由于根的值不同,因此能保证每棵二叉搜索树是唯一的。由此可见,原问题可以分解成规模较小的两个子问题,且子问题的解可以复用。
题目要求是计算不同二叉搜索树的个数。为此,可以定义两个函数:
- G(n): 长度为 n 的序列能构成的不同二叉搜索树的个数。
- F(i,n): 以 i 为根、序列长度为 n 的不同二叉搜索树个数 (1≤i≤n)。
可见,G(n) 是我们求解需要的函数。
稍后我们将看到,G(n) 可以从 F(i, n) 得到,而 F(i, n) 又会递归地依赖于 G(n)。
首先,根据上一节中的思路,不同的二叉搜索树的总数 G(n),是对遍历所有(1≤i≤n)的 F(i, n) 之和。换言之:
∑i=1nF(i,n)\sum_{i=1}^{n}F(i,n)i=1∑nF(i,n)
对于边界情况,当序列长度为 1(只有根)或为 0(空树)时,只有一种情况,即:
G(0)=1,G(1)=1G(0)=1,G(1)=1G(0)=1,G(1)=1
给定序列 1⋯n,我们选择数字 i 作为根,则根为 i 的所有二叉搜索树的集合是左子树集合和右子树集合的笛卡尔积,对于笛卡尔积中的每个元素,加上根节点之后形成完整的二叉搜索树,如下图所示:
举例而言,创建以 3 为根、长度为 7 的不同二叉搜索树,整个序列是 [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7],我们需要从左子序列 [1, 2] 构建左子树,从右子序列 [4, 5, 6, 7] 构建右子树,然后将它们组合(即笛卡尔积)。
对于这个例子,不同二叉搜索树的个数为 F(3, 7)。我们将 [1,2] 构建不同左子树的数量表示为 G(2), 从 [4, 5, 6, 7] 构建不同右子树的数量表示为 G(4),注意到 G(n) 和序列的内容无关,只和序列的长度有关。于是,F(3,7)=G(2)⋅G(4)。 因此,我们可以得到以下公式:
F(i,n)=G(i−1)⋅G(n−i)F(i,n)=G(i−1)⋅G(n−i)F(i,n)=G(i−1)⋅G(n−i)将两个公式结合,可以得到 G(n) 的递归表达式:
G(n)=∑i=1nG(i−1)∗G(n−i)G(n)=\sum_{i=1}^{n}G(i-1)*G(n-i)G(n)=i=1∑nG(i−1)∗G(n−i)至此,我们从小到大计算 G 函数即可,因为 G(n) 的值依赖于 G(0)⋯G(n−1)。
Code
def numTrees(self, n: int) -> int:G = [0] * (n + 1)G[0], G[1] = 1, 1for i in range(2, n + 1):for j in range(1, i + 1):G[i] += G[j - 1] * G[i - j]return G[n]
复杂度分析
时间复杂度 : O(n2),其中 n 表示二叉搜索树的节点个数。G(n) 函数一共有 n 个值需要求解,每次求解需要 O(n) 的时间复杂度,因此总时间复杂度为 O(n2)。
空间复杂度 : O(n)。我们需要 O(n) 的空间存储 G 数组。
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