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题解

拉格朗日乘数法

拉格朗日乘数法用以求多元函数在约束下的极值
我们设多元函数\(f(x_1,x_2,x_3,\dots,x_n)\)
以及限制\(g(x_1,x_2,x_3,\dots,x_n) = E\)
我们需要求\(f\)在限制\(g\)下的极值
如图

当\(f\)取到最值时，必然与\(g\)的等高线相切
所以我们只需找出这个切点
切点处两函数的梯度向量平行\({\nabla f~//~\nabla g}\)
梯度向量的每一维就是该维下的偏导函数
\[{\nabla f=(\frac{\partial f}{\partial x_1},\frac{\partial f}{\partial x_2},\frac{\partial f}{\partial x_3},\dots,\frac{\partial f}{\partial x_n})}\]
偏导可以理解为把别的变量看做常数，只对一个变量求导

所以只需令
\[\nabla f = \lambda \nabla g\]
可以得到\(n\)个方程，加上\(g\)本身就是一个方程
可以得到\(n + 1\)个方程，可解\(\lambda\)以及\(x_i\)

本题

限制是
\[\sum\limits_{i = 1}^{n}s_ik_i(v_i - v'_i)^{2} = E\]
我们要最小化
\[\sum\limits_{i = 1}^{n}\frac{s_i}{v_i}\]
利用拉格朗日乘数法，我们求出\(n + 1\)个方程
对于变量\(x_i\)的偏导，可得到方程
\[2\lambda k_iv_i^{2}(v_i - v'_i) = -1\]
首先\(v_i \ge v'_i\)，所以除\(\lambda\)外左边是正的，所以\(\lambda\)是负的，然后可以发现\(v_i\)关于\(\lambda\)单调
而方程
\[\sum\limits_{i = 1}^{n}s_ik_i(v_i - v'_i)^{2} = E\]
左边也关于\(v_i\)单调，所以可以使用二分求解
当然求\(v_i\)也可以用牛顿迭代

还有就是精度要开够大。。

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<map>
#define Redge(u) for (int k = h[u],to; k; k = ed[k].nxt)
#define REP(i,n) for (int i = 1; i <= (n); i++)
#define mp(a,b) make_pair<int,int>(a,b)
#define cls(s) memset(s,0,sizeof(s))
#define cp pair<int,int>
#define LL long long int
using namespace std;
const int maxn = 10005,maxm = 100005;
const double eps = 1e-13,INF = 1e12;
int n;
double E,v1[maxn],v[maxn],s[maxn],k[maxn];
inline double f(int i,double lam){return 2 * lam * k[i] * v[i] * v[i] * (v[i] - v1[i]) + 1;
}
inline double cal(double lam){REP(i,n){double l = max(v1[i],0.0),r = INF;while (r - l > eps){v[i] = (l + r) / 2.0;if (f(i,lam) >= 0) l = v[i];else r = v[i];}v[i] = l;}double re = 0;REP(i,n) re += s[i] * k[i] * (v[i] - v1[i]) * (v[i] - v1[i]);return re;
}
int main(){scanf("%d%lf",&n,&E);REP(i,n) scanf("%lf%lf%lf",&s[i],&k[i],&v1[i]);double l = -INF,r = 0,mid;while (r - l > eps){mid = (l + r) / 2.0;if (cal(mid) >= E) r = mid;else l = mid;}cal(l);double ans = 0;REP(i,n) ans += s[i] / v[i];printf("%.10lf\n",ans);return 0;
}