【算法导论07】回溯法-旅行售货员问题

07回溯法-旅行售货员问题

问题描述：
已知有m个城市，城市之间由n条不同长度的道路相连。一个售货员从一座城市出发，途径所有城市，并最终回到原点，设计算法计算售货员所走的最短路径结点。

问题分析：
从问题不难看出，此问题属于图中的最小哈密顿图问题。最直接的方法便是遍历找出所有能走完全部结点的道路，并选择其中最短的一条路作为答案。已知图的遍历方式有两种，深度遍历和广度遍历。而排列算法有perm算法，因此此处使用深度遍历+perm算法来寻找最小哈密顿图，这两种算法的组合便是回溯法：通过深度搜索来寻找答案，当发现其中一条道路行不通时，遍选择下一条路继续进行。

算法描述：
最短路径 = 已经走过的最短路径 + 当前要走的最短路径 + 以后要走的最短路径。
perm全排列算法流程：
1）交换A[0]和A[i]
2）对除A[0]以外元素进行perm()递归。
3）再次交换A[0]和A[i]，防止下次执行顺序被打乱，出现重复排序。
4）对以上算法进行基于顶点数i的循环
（perm全排序算法具体讲解见：06递归算法-perm算法）

下面讲述如何通过对perm算法的改进实现回溯法：
由于该问题的解答需要获取到顶点结点，所以当perm算法中第i个结点完成交换后，在对从i+1到末尾顶点进行全排列之前，要获取到前一个边的长度，即在流程1与2中间加一个 cc+=A[i-1][i]（cc表示已走的路，随着递归的进行而不断增加）。而当第2步实现以i为首的顶点路径集合的全排序后，由于需要回溯到i结点处（选择以i+1结点进行全排序），所以还需将之前增加的结点路径减去以实现回溯，即在流程2和3之间插入一句 cc-=A[i-1][i]。至此，对perm算法的全部改进主体工作完成。

笔记：（-from Tsinghua University算法导论课程）

旅行售货员问题代码：

void traveling（int i）{if(i==n){//一次递归到底，结束当前递归if(A[x[i-1]][x[i]]!=Noedge && A[x[i]][x[1]]!=NULL && (cc+A[x[i-1]][x[i]]+A[x[i]][x[1]]<best||best == NULL) ){best = cc+A[x[i-1][x[i]]] + A[x[i]][x[1]];iscycle = true;for(int j=1;j<=n;j++)bestx[i] = x[j];}}else{for(int j=i;j<=n;j++){//对所有节点进行全排序if(A[x[i-1]][x[j]]!=Noedge && (cc+A[x[i-1]][x[j]]<best||best == Nodege)){//只有边存在且已走过的路经+当前要走的路径<最短路径时，才会执行语句，对后面路径进行全排列(注意和第一个if判断语句的区别)swap(x[i],x[j]);cc+=A[x[i-1]][x[i]];//新增边traveling(i+1);cc-=A[x[i-1]][x[i]];//回溯减去边swap(x[i],x[j]);}}}
}

20201010补充：
该算法本质是二叉树的深度遍历，而之所以使用到了perm算法对数字进行全排序，是因为该问题本身结构是由图构成，而后转化成二叉树，该二叉树并没用事先建立，也没有对图进行邻接矩阵设计，因此采用perm算法进行设计，本质是构造二叉树。
20201014补充：回溯法的构造解空间树分为排列树和子集树。当选项可以重复时，则解空间树为子集树，如01背包中，每项都可以选或者不选，最小重量机器设计中，每个零件都可以在所有供应商买到。当解空间不可以重复时，解空间树则为排列树，如旅行售货员问题中，每条道路不能重复走，羽毛球最佳配对问题中，队员不能重复选择。

回溯法设计步骤：
1 根据问题确定解空间树类型（子集树，排列树）以及分支情况。
2 确定显式约束（背包容量、总价格）和隐式约束（最大价值、最小重量），以设计限界函数。
3 确定需要更新的变量以及问题的解。

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