1、概念

回溯算法实际上一个类似枚举的搜索尝试过程，主要是在搜索尝试过程中寻找问题的解，当发现已不满足求解条件时，就“回溯”返回，尝试别的路径。回溯法是一种选优搜索法，按选优条件向前搜索，以达到目标。但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。 许多复杂的，规模较大的由多步骤组成，并且每一步都有多种选项，当我们在某一步选择了其中一项时就进入下一项，然后又面临新的选项之类的问题都可以使用回溯法，有“通用解题方法”的美称。

2、基本思想

回溯法思想简单描述：把问题的解空间转化为图或者树的结构表示，然后使用深度优先搜索策略进行遍历，遍历过程中记录和寻找可行解或者最优解。基本思想类似二叉树的后序遍历。

回溯法按深度优先策略搜索问题的解空间树。首先从根节点出发搜索解空间树，当算法搜索至解空间树的某一节点时，先利用剪枝函数判断该节点是否可行(即能得到问题的解)。如果不可行，则跳过对该节点为根的子树的搜索，逐层向其祖先节点回溯；否则，进入该子树，继续按深度优先策略搜索。 回溯法的基本行为是搜索，搜索过程使用剪枝函数来为了避免无效的搜索。剪枝函数包括两类：1. 使用约束函数，剪去不满足约束条件的路径；2.使用限界函数，剪去不能得到最优解的路径。

3、用回溯法解题的一般步骤：

(1)针对所给问题，确定问题的解空间：首先应明确定义问题的解空间，问题的解空间应至少包含问题的一个(最优)解。

(2)确定结点的扩展搜索规则

(3)以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。

4、算法框架

(1)问题框架

设问题的解是一个n维向量(a1,a2,………,an),约束条件是ai(i=1,2,3,…..,n)之间满足某种条件，记为f(ai)。

(2)非递归回溯框架int a[n],i;

初始化数组a[];

i = 1;

while (i>0(有路可走)   and  (未达到目标))  // 还未回溯到头

{

if(i > n)                           // 搜索到叶结点

{

搜索到一个解，输出；

}

else                           // 处理第i个元素

{

a[i]第一个可能的值；

while(a[i]在不满足约束条件且在搜索空间内)

{

a[i]下一个可能的值；

}

if(a[i]在搜索空间内)

{

标识占用的资源；

i = i+1;           // 扩展下一个结点

}

else

{

清理所占的状态空间；   // 回溯

i = i –1;

}

}

(3)递归的算法框架

回溯法是对解空间的深度优先搜索，在一般情况下使用递归函数来实现回溯法比较简单，其中i为搜索的深度，框架如下：int a[n];

try(int i)

{

if(i>n)

输出结果;

else

{

for(j = 下界; j <= 上界; j=j+1)  // 枚举i所有可能的路径

{

if(fun(j))                 // 满足限界函数和约束条件

{

a[i] = j;

...                         // 其他操作

try(i+1);

回溯前的清理工作(如a[i]置空值等);

}

}

}

}

5、经典问题

(1)装载问题

(2)0-1背包问题

(3)旅行售货员问题

(4)八皇后问题

(5)迷宫问题

(6)图的m着色问题

1. 0-1背包问题

问题：给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi，其价值为pi，背包的容量为C。问应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?

分析：问题是n个物品中选择部分物品，可知，问题的解空间是子集树。比如物品数目n=3时，其解空间树如下图，边为1代表选择该物品，边为0代表不选择该物品。使用x[i]表示物品i是否放入背包，x[i]=0表示不放，x[i]=1表示放入。回溯搜索过程，如果来到了叶子节点，表示一条搜索路径结束，如果该路径上存在更优的解，则保存下来。如果不是叶子节点，是中点的节点(如B)，就遍历其子节点(D和E)，如果子节点满足剪枝条件，就继续回溯搜索子节点。

#include

#define N 3         //物品的数量

#define C 16        //背包的容量

int w[N]={10,8,5};  //每个物品的重量

int v[N]={5,4,1};   //每个物品的价值

int x[N]={0,0,0};   //x[i]=1代表物品i放入背包，0代表不放入

int CurWeight = 0;  //当前放入背包的物品总重量

int CurValue = 0;   //当前放入背包的物品总价值

int BestValue = 0;  //最优值；当前的最大价值，初始化为0

int BestX[N];       //最优解；BestX[i]=1代表物品i放入背包，0代表不放入

//t = 0 to N-1

void backtrack(int t)

{

//叶子节点，输出结果

if(t>N-1)

{

//如果找到了一个更优的解

if(CurValue>BestValue)

{

//保存更优的值和解

BestValue = CurValue;

for(int i=0;i

}

}

else

{

//遍历当前节点的子节点：0 不放入背包，1放入背包

for(int i=0;i<=1;++i)

{

x[t]=i;

if(i==0) //不放入背包

{

backtrack(t+1);

}

else //放入背包

{

//约束条件：放的下

if((CurWeight+w[t])<=C)

{

CurWeight += w[t];

CurValue += v[t];

backtrack(t+1);

CurWeight -= w[t];

CurValue -= v[t];

}

}

}

//PS:上述代码为了更符合递归回溯的范式，并不够简洁

}

}

int main(int argc, char* argv[])

{

backtrack(0);

printf("最优值：%d\n",BestValue);

for(int i=0;i

{

printf("最优解：%-3d",BestX[i]);

}

return 0;

}

2. 旅行售货员问题

3. 详细描述N皇后问题

问题：在n×n格的棋盘上放置彼此不受攻击的n个皇后。按照国际象棋的规则，皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子。

N皇后问题等价于在n×n格的棋盘上放置n个皇后，任何2个皇后不放在同一行或同一列或同一斜线上。

分析：从n×n个格子中选择n个格子摆放皇后。可见解空间树为子集树。

使用Board[N][N]来表示棋盘，Board[i][j]=0 表示(I,j)位置为空，Board[i][j]=1 表示(I,j)位置摆放有一个皇后。

全局变量way表示总共的摆放方法数目。

使用Queen(t)来摆放第t个皇后。Queen(t) 函数符合子集树时的递归回溯范式。当t>N时，说明所有皇后都已经摆   放完成，这是一个可行的摆放方法，输出结果；否则，遍历棋盘，找皇后t所有可行的摆放位置，Feasible(i,j) 判断皇后t能否摆放在位置(i,j)处，如果可以摆放则继续递归摆放皇后t+1，如果不能摆放，则判断下一个位置。

Feasible(row,col)函数首先判断位置(row,col)是否合法，继而判断(row,col)处是否已有皇后，有则冲突，返回0，无则继续判断行、列、斜方向是否冲突。斜方向分为左上角、左下角、右上角、右下角四个方向，每次从(row,col)向四个方向延伸一个格子，判断是否冲突。如果所有方向都没有冲突，则返回1，表示此位置可以摆放一个皇后。

4. 迷宫问题

问题：给定一个迷宫，找到从入口到出口的所有可行路径，并给出其中最短的路径

分析：用二维数组来表示迷宫，则走迷宫问题用回溯法解决的的思想类似于图的深度遍历。从入口开始，选择下一个可以走的位置，如果位置可走，则继续往前，如果位置不可走，则返回上一个位置，重新选择另一个位置作为下一步位置。

N表示迷宫的大小，使用Maze[N][N]表示迷宫，值为0表示通道(可走)，值为1表示不可走(墙或者已走过)；

Point结构体用来记录路径中每一步的坐标(x,y)

(ENTER_X,ENTER_Y) 是迷宫入口的坐标

(EXIT_X, EXIT _Y)    是迷宫出口的坐标

Path容器用来存放一条从入口到出口的通路路径

BestPath用来存放所有路径中最短的那条路径

Maze()函数用来递归走迷宫，具体步骤为：

1. 首先将当前点加入路径，并设置为已走

2. 判断当前点是否为出口，是则输出路径，保存结果；跳转到4

3. 依次判断当前点的上、下、左、右四个点是否可走，如果可走则递归走该点

4. 当前点推出路径，设置为可走

参考：http://www.cnblogs.com/steven_oyj/archive/2010/05/22/1741376.html

https://blog.csdn.net/jarvischu/article/details/16067319