N划分成若干个奇正整数之和的分法有多少种---动态规划

本文只是对:
OJ 7219 复杂的整数划分各变形题总结__动态规划(别人写的)
里的把N划分成若干个奇正整数之和的分法有多少种的个人理解(在最下方)。

1、截个图做笔记先

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
#define N 51
int dp1[N][N];    //N划分成K个正整数之和的划分数目。
int dp2[N][N];    //N划分成若干个不同正整数之和的划分数目。
int dp3[N][N];    //N划分成若干个可相同的正整数之和的划分数目。
int f[N][N];      //N划分成K个奇正整数之和的划分数目。
int g[N][N];      //N划分成K个偶正整数之和的划分数目。void initDivideInt() {memset(dp1, 0, sizeof(dp1));  //dp[n][k]=dp[n-k][k]+dp[n-1][k-1]memset(dp2, 0, sizeof(dp2));  //dp[n][m]=dp[n][m-1]+dp[n-m][m-1]memset(dp3, 0, sizeof(dp3));  //dp[n][m]=dp[n][m-1]+dp[n-m][m]for (int i = 1; i < N; i++) {for (int j = 1; j < N; j++) {if (i < j) {dp1[i][j] = 0;dp2[i][j] = dp2[i][i];dp3[i][j] = dp3[i][i];}else if (i == j) {dp1[i][j] = 1;dp2[i][j] = dp2[i][j - 1] + 1;dp3[i][j] = dp3[i][j - 1] + 1;}else {dp1[i][j] = dp1[i - j][j] + dp1[i - 1][j - 1];dp2[i][j] = dp2[i][j - 1] + dp2[i - j][j - 1];dp3[i][j] = dp3[i][j - 1] + dp3[i - j][j];}}}
}//f[i][j]=f[i-1][j-1]+g[i-j][j]
void initDivideOdd() {f[0][0] = 1;g[0][0] = 1;for (int i = 1; i < N; i++) {for (int j = 1; j <= i; j++) {g[i][j] = f[i - j][j];f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + g[i - j][j];}}
}int main() {//  freopen("in.txt", "r", stdin);int n, k;initDivideInt();initDivideOdd();while (cin >> n >> k) {cout << dp1[n][k] << endl;cout << dp2[n][n] << endl;int sum = 0;for (int i = 0; i <= n; i++) {sum += f[n][i];}cout << sum << endl;}return 0;
}

以下为本人理解:

N划分成若干个奇正整数之和：

设`f[i][j]`表示将数`i`分成`j`个正奇数，`g[i][j]`表示将数i分成j个正偶数。

因为f[i][j]表示数i分成j个正奇数，假设把这j个划分每个加个1，因为奇数减加1即为偶数，所以这j个划分都变成了正偶数，所以把i-j划分成j个正奇数对应着把i划分成j个正偶数，即:f[i-j][j] = g[i][j]
同理可得：把i-j划分成j个正偶数对应着把i划分成j个正奇数，即g[i-j][j]=f[i][j]

对于正奇数的划分分两种情况：

划分中不包含1：则要求每个数都大于1，可以先拿出j个1分到每一份，然后将i-1分成j个偶数分到没一份，分法有g[i-j][j]种(分不了就是0)。
划分中包含1：则从i中减去1，然后从i-1中再划分j-1份,
则划分数为f[i-1][j-1]。

f[i][j]的动态转移方程：f[i][j]=f[i-1][j-1]+g[i-j][j]。
因为f[i][j]和g[i][j]有f[i-j][j] = g[i][j]和g[i-j][j]=f[i][j]的等价关系所以可以通过f[i][j]来求g[i][j]

//f[i][j]=f[i-1][j-1]+g[i-j][j]
int f[N][N];
int g[N][N];
void initDivideOdd() {f[0][0] = 1;g[0][0] = 1;for (int i = 1; i < N; i++) {for (int j = 1; j <= i; j++) {        //为什么小j <= i？因为i<j的话，g[i][j]和f[i][j]都只能为0g[i][j] = f[i - j][j];f[i][j] = f[i-1][j-1] + g[i-j][j];}}
}

如果要求把n(n < N)划分成若干个奇正整数之和的分法有多少种的话，还要把f[i][j]数组的第n行(不是n-1,因为从第一行算起的)的累加起来,因为f[i][j]的含义是将数i分成j个正奇数，而这里没指定要划分成几个。

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