数论概论读书笔记 25.哪些数可表成两个平方数之和

哪些数可表成两个平方数之和

对于一个正整数mmm ，如果m" role="presentation">mmm每个素因子都可以表示成两个平方数之和，则素因子分解后，用公式

(u2+v2)(A2+B2)=(uA+vB)2+(vA−uB)2(u2+v2)(A2+B2)=(uA+vB)2+(vA−uB)2

(u^2+v^2)(A^2+B^2)=(uA+vB)^2+(vA-uB)^2
迭代即可求出最后组成 mmm的两个平方数

但还有一些m" role="presentation">mmm，不满足上述条件。

但列出后可以发现，对于m=a2+b2m=a2+b2m=a^2+b^2，两边乘上d2d2d^2，可得

d2m=(da)2+(db)2d2m=(da)2+(db)2

d^2m=(da)^2+(db)^2
于是，若 mmm是两个数平方和，则d2m" role="presentation">d2md2md^2m也是

于是可以将一个数mmm质因子中的平方项先提出来。

定理两平方数之和定理 设m" role="presentation">mmm是正整数

将mmm质因子这样分解后

m=p1p2...prM2" role="presentation">m=p1p2...prM2m=p1p2...prM2

m=p_1p_2...p_rM^2

其中p1,p2,...,prp1,p2,...,prp_1,p_2,...,p_r是互不相同的素因子，则mmm可以表示成两个平方数之和的充要条件是每个pi" role="presentation">pipip_i或为2或为模4余1

mmm能表示成m=a2+b2" role="presentation">m=a2+b2m=a2+b2m=a^2+b^2，且gcd(a,b)=1gcd(a,b)=1gcd(a,b)=1，当且仅当以下两个条件之一成立：
1. mmm是奇数，且m" role="presentation">mmm的每个素因子都模4余1
2. mmm是偶数，m/2" role="presentation">m/2m/2m/2是奇数且m/2m/2m/2的每个素因子都模4余1

回顾一下，本原勾股数组

定理2.1 （勾股数组定理）. 每个本原勾股数组（a,b,c)（a为奇数，b为偶数)都可从如下公式得出：

a=st,b=s2−t22,c=s2+t22a=st,b=s2−t22,c=s2+t22

a=st ,\quad b=\frac{s^2-t^2}{2},\quad c=\frac{s^2+t^2}{2}
其中s>t>=1是任意没有公因数的奇数，即互质的奇数

有以上两条定理可知，ccc是一个本原勾股数组的斜边当且仅当方程

2c=s2+t2" role="presentation">2c=s2+t22c=s2+t2

2c=s^2+t^2
有互素的奇整数解s,ts,ts,t

且有如下命题

毕达哥拉斯斜边命题 ccc是一个本原勾股数组斜边的充要条件是c" role="presentation">ccc是模4余1的素数的乘积

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