【灰色系统】—— 灰色系统的基本概念

灰色系统的基本概念

灰数

灰数是灰色系统的基本单元，把只知道大概范围而不知道确切范围的数称为灰数，灰数实际上指在某一区间或某个一般的数集内取值的不确定数，通常用记号 ⊗\otimes⊗ 表示灰数，灰数有以下几类

下界灰数
下界灰数有下界而没有上界，记为 ⊗∈[a‾,∞]\otimes ∈ [\underline{a}, \infty]⊗∈[a,∞] 或 ⊗(a‾)\otimes(\underline{a})⊗(a)，其中 a‾\underline{a}a 为灰数 ⊗\otimes⊗ 的下确定界限，它是一个确定的数。
上界灰数
上界灰数有上界而没有下界，记为 ⊗∈[−∞,aˉ]\otimes ∈[-\infty, \bar{a}]⊗∈[−∞,aˉ] 或 ⊗(aˉ)\otimes( \bar{a})⊗(aˉ)，其中 aˉ\bar{a}aˉ 为灰数 ⊗\otimes⊗ 的上确定界限，是个确定数。
区间灰数
既有上界又有下界的灰数称为区间灰数，记为 ⊗∈[a‾,aˉ]\otimes ∈[\underline{a}, \bar{a}]⊗∈[a,aˉ]。
连续灰数与离散灰数
在某一区间内取有限个值或可数个值的灰数称为离散灰数，取值连续地充满某一区间的灰数称为连续灰数。
黑数与白数
当 ⊗∈[−∞,∞]\otimes ∈[-\infty,\infty]⊗∈[−∞,∞] 或 ⊗∈[⊗1,⊗2]\otimes ∈[\otimes_1,\otimes_2]⊗∈[⊗1,⊗2]，即上、下界皆为无穷或上、下界都是灰数时，称 ⊗\otimes⊗ 为黑数。

灰数计算

(1) 灰数加法则
设 ⊗1∈[a,b]\otimes_{1} \in[a, b]⊗1∈[a,b], a<ba<ba<b, ⊗2∈[c,d]\otimes_{2} \in[c, d]⊗2∈[c,d], c<dc<dc<d，则 ⊗1\otimes_{1}⊗1 与 ⊗2\otimes_{2}⊗2 的和记为 ⊗1+⊗2\otimes_{1}+\otimes_{2}⊗1+⊗2，且有 ⊗1+⊗2∈[a+c,b+d]\otimes_{1}+\otimes_{2} \in[a+c, b+d]⊗1+⊗2∈[a+c,b+d]。

(2) 灰数减法则
设 ⊗1∈[a,b]\otimes_{1} \in[a, b]⊗1∈[a,b], a<ba<ba<b, ⊗2∈[c,d]\otimes_{2} \in[c, d]⊗2∈[c,d], c<dc<dc<d，则 ⊗1\otimes_{1}⊗1 与 ⊗2\otimes_{2}⊗2 的差记为 ⊗1−⊗2\otimes_{1}-\otimes_{2}⊗1−⊗2，且有 ⊗1−⊗2=⊗1+(−⊗2)∈[a−d,b−c]\otimes_{1}-\otimes_{2} =\otimes_{1}+(-\otimes_{2})\in[a-d, b-c]⊗1−⊗2=⊗1+(−⊗2)∈[a−d,b−c]。

(3) 灰数乘法则
设 ⊗1∈[a,b]\otimes_{1} \in[a, b]⊗1∈[a,b], a<ba<ba<b, ⊗2∈[c,d]\otimes_{2} \in[c, d]⊗2∈[c,d], c<dc<dc<d，则 ⊗1\otimes_{1}⊗1 与 ⊗2\otimes_{2}⊗2 的积记为 ⊗1⋅⊗2\otimes_{1}\cdot \otimes_{2}⊗1⋅⊗2，且有 ⊗1⋅⊗2∈[min⁡{ac,ad,bc,bd},max⁡{ac,ad,bc,bd}]。\otimes_{1}\cdot\otimes_{2} \in[\min \{a c, a d, b c, b d\}, \max \{a c, a d, b c, b d\}]。⊗1⋅⊗2∈[min{ac,ad,bc,bd},max{ac,ad,bc,bd}]。

(4) 灰数除法则
设 ⊗1∈[a,b]\otimes_{1} \in[a, b]⊗1∈[a,b], a<ba<ba<b, ⊗2∈[c,d]\otimes_{2} \in[c, d]⊗2∈[c,d], c<dc<dc<d，且 c≠0,d≠0,cd>0c \neq 0, d \neq 0, c d>0c=0,d=0,cd>0，则 ⊗1\otimes_{1}⊗1 与 ⊗2\otimes_{2}⊗2 的商记为 ⊗1/⊗2\otimes_{1}/ \otimes_{2}⊗1/⊗2，且有 ⊗1/⊗2∈[min⁡{a/c,a/d,b/c,b/d},max⁡{a/c,a/d,b/c,b/d}]。\otimes_{1}/\otimes_{2} \in[\min \{a /c, a/ d, b/ c, b/ d\}, \max \{a/ c, a/ d, b /c, b/ d\}]。⊗1/⊗2∈[min{a/c,a/d,b/c,b/d},max{a/c,a/d,b/c,b/d}]。

灰微分方程

设有一组原始数列 X(0),X(1)X^{(0)},\,X^{(1)}X(0),X(1) 为 X(0)X^{(0)}X(0) 的一次累加生成数，记X(0)={X(0)(1),X(0)(2),...,X(0)(n)}X^{(0)} = \{X^{(0)}(1),\,X^{(0)}(2),\,...,\,X^{(0)}(n)\}X(0)={X(0)(1),X(0)(2),...,X(0)(n)}X(1)={X(1)(1),X(1)(2),...,X(1)(n)}X^{(1)} = \{X^{(1)}(1),\,X^{(1)}(2),\,...,\,X^{(1)}(n)\}X(1)={X(1)(1),X(1)(2),...,X(1)(n)}

则 X(1)X^{(1)}X(1) 上的一阶常系数灰微分方程为：X(0)(k)−aZ(1)(k)=b(∀k∈{1,2,...,n})X^{(0)}(k)-aZ^{(1)}(k) = b\,(∀\,k∈\{1,2,...,n\})X(0)(k)−aZ(1)(k)=b(∀k∈{1,2,...,n})其中Z(1)(k)=12(X(1)(k)+X(1)(k−1))Z^{(1)}(k) = \frac{1}{2}(X^{(1)}(k)+X^{(1)}(k-1))Z(1)(k)=21(X(1)(k)+X(1)(k−1))(a,b∈R,R为实轴)(a,b∈R,\,R为实轴)(a,b∈R,R为实轴)

影子方程或白化方程

因为灰微分方程X(0)(k)−aZ(1)(k)=bX^{(0)}(k)-aZ^{(1)}(k)=bX(0)(k)−aZ(1)(k)=b是仿照微分方程 dXdt+aX(1)=b\frac{dX}{dt}+aX^{(1)}=bdtdX+aX(1)=b 建立的，故称后者为前者的影子方程或白化方程。上式中 X(0)(k)X^{(0)}(k)X(0)(k) 为灰导数；Z(1)(k)Z^{(1)}(k)Z(1)(k) 为 X(0)(k)X^{(0)}(k)X(0)(k) 的白化背景值。

背景值

在灰色系统理论中，称 X(t+△t)、X(t)、X(t−△t)X(t+△t)、X(t)、X(t-△t)X(t+△t)、X(t)、X(t−△t) 为导数 dXdt\frac{dX}{dt}dtdX 在时区 [t−△t,t+△t][t-△t,\,t+△t][t−△t,t+△t] 的背景值，它表示 dXdt\frac{dX}{dt}dtdX 是与这些值有关的极限值。

Reference：http://gb.oversea.cnki.net/KCMS/detail/detail.aspx?filename=2008029195.nh&dbcode=CMFD&dbname=CMFDREF