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概率论和数理统计
随机事件和概率
1.事件的关系与运算

(1) 子事件：A ⊂ B A \subset BA⊂B，若A AA发生，则B BB发生。 Notes：A AA是B BB的子事件，P ( A ) ≤ P ( B ) P(A) \le P(B)P(A)≤P(B)

(2) 相等事件：A = B A = BA=B，即A ⊂ B A \subset BA⊂B，且B ⊂ A B \subset AB⊂A 。

(3) 和事件：A ⋃ B A\bigcup BA⋃B（或A + B A + BA+B），A AA与B BB中至少有一个发生。推广：若A 1 , A 2 , … … A_{1},A_{2},……A
1

,A
2

,……是互不相容的事件序列，则P ( A 1 ⋂ A 2 ) = P ( A 1 ) + P ( A 2 ) + … … P(A_{1}\bigcap A_{2})=P(A_{1})+P(A_{2})+……P(A
1

⋂A
2

)=P(A
1

)+P(A
2

)+……

(4) 差事件：A − B A - BA−B，A AA发生但B BB不发生。

(5) 积事件：A ⋂ B A\bigcap BA⋂B（或A B {AB}AB），A AA与B BB同时发生。

(6) 互斥事件（互不相容）：A ⋂ B A\bigcap BA⋂B=∅ \varnothing∅。

(7) 互逆事件（对立事件）：A ⋂ B = ∅ , A ⋃ B = Ω , A = B ˉ , B = A ˉ A\bigcap B=\varnothing ,A\bigcup B=\Omega ,A=\bar{B},B=\bar{A}A⋂B=∅,A⋃B=Ω,A=
B
ˉ
,B=
A
ˉ

(8)P ( Ω ) = 1 P(\Omega)=1P(Ω)=1
2.运算律
(1) 交换律：A ⋃ B = B ⋃ A , A ⋂ B = B ⋂ A A\bigcup B=B\bigcup A,A\bigcap B=B\bigcap AA⋃B=B⋃A,A⋂B=B⋂A
(2) 结合律：( A ⋃ B ) ⋃ C = A ⋃ ( B ⋃ C ) (A\bigcup B)\bigcup C=A\bigcup (B\bigcup C)(A⋃B)⋃C=A⋃(B⋃C)
(3) 分配律：( A ⋂ B ) ⋂ C = A ⋂ ( B ⋂ C ) (A\bigcap B)\bigcap C=A\bigcap (B\bigcap C)(A⋂B)⋂C=A⋂(B⋂C)
3.德⋅ \centerdot⋅摩根律

A ⋃ B ‾ = A ˉ ⋂ B ˉ \overline{A\bigcup B}=\bar{A}\bigcap \bar{B}
A⋃B

A
ˉ
⋂
B
ˉ
A ⋂ B ‾ = A ˉ ⋃ B ˉ \overline{A\bigcap B}=\bar{A}\bigcup \bar{B}
A⋂B

A
ˉ
⋃
B
ˉ

4.完全事件组

A 1 A 2 ⋯ A n {{A}{1}}{{A}{2}}\cdots {{A}{n}}A
1

A
2

⋯A
n

两两互斥，且和事件为必然事件，即A i ∩ A j = ∅ , i ≠ j , ⋃ i = 1 n = Ω . {A{i}} \cap A_{j}=\varnothing, i \neq j, \bigcup_{i=1}^{n}=\Omega\ .A
i

∩A
j

=∅,i


=j,⋃
i=1
n

=Ω .
5.概率的基本公式
(1)条件概率:
P ( B ∣ A ) = P ( A ⋂ B ) P ( A ) P(B|A)=\frac{P(A\bigcap B)}{P(A)}P(B∣A)=
P(A)
P(A⋂B)

,表示A AA发生的条件下，B BB发生的概率。
(2)全概率公式：
P ( A ) = ∑ i = 1 n P ( A ∣ B i ) P ( B i ) , B i B j = ∅ , i ≠ j , ⋃ n i = 1 B i = Ω P(A)=\sum\limits_{i=1}^{n}{P(A|{{B}{i}})P({{B}{i}}),{{B}{i}}{{B}{j}}}=\varnothing ,i\ne j,\underset{i=1}{\overset{n}{\mathop{\bigcup }}},{{B}_{i}}=\OmegaP(A)=
i=1
∑
n

P(A∣B
i

)P(B
i

),B
i

B
j

=∅,i


=j,
i=1
⋃
n

B
i

=Ω 如何推出？条件概率变形，P ( A ⋂ B ) = P ( B ∣ A ) P ( A ) P(A\bigcap B)=P(B|A)P(A)P(A⋂B)=P(B∣A)P(A)
(3) Bayes公式：
P ( B j ∣ A ) = P ( A ∣ B j ) P ( B j ) ∑ i = 1 n P ( A ∣ B i ) P ( B i ) , j = 1 , 2 , ⋯ , n P({{B}{j}}|A)=\frac{P(A|{{B}{j}})P({{B}{j}})}{\sum\limits{i=1}^{n}{P(A|{{B}{i}})P({{B}{i}})}},j=1,2,\cdots ,nP(B
j

∣A)=
i=1
∑
n

P(A∣B
i

)P(B
i

)
P(A∣B
j

)P(B
j

)

,j=1,2,⋯,n
注：上述公式中事件B i {{B}{i}}B
i

的个数可为可列个。
(4)乘法公式：
P ( A 1 A 2 ) = P ( A 1 ) P ( A 2 ∣ A 1 ) = P ( A 2 ) P ( A 1 ∣ A 2 ) P({{A}{1}}{{A}{2}})=P({{A}{1}})P({{A}{2}}|{{A}{1}})=P({{A}{2}})P({{A}{1}}|{{A}{2}})P(A
1

A
2

)=P(A
1

)P(A
2

∣A
1

)=P(A
2

)P(A
1

∣A
2

)
P ( A 1 A 2 ⋯ A n ) = P ( A 1 ) P ( A 2 ∣ A 1 ) P ( A 3 ∣ A 1 A 2 ) ⋯ P ( A n ∣ A 1 A 2 ⋯ A n − 1 ) P({{A}{1}}{{A}{2}}\cdots {{A}{n}})=P({{A}{1}})P({{A}{2}}|{{A}{1}})P({{A}{3}}|{{A}{1}}{{A}{2}})\cdots P({{A}{n}}|{{A}{1}}{{A}{2}}\cdots {{A}{n-1}})P(A
1

A
2

⋯A
n

)=P(A
1

)P(A
2

∣A
1

)P(A
3

∣A
1

A
2

)⋯P(A
n

∣A
1

A
2

⋯A
n−1

)
6.事件的独立性
(1)A AA与B BB相互独立⇔ P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) \Leftrightarrow P(AB)=P(A)P(B)⇔P(AB)=P(A)P(B)
(2)A AA，B BB，C CC两两独立
⇔ P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) \Leftrightarrow P(AB)=P(A)P(B)⇔P(AB)=P(A)P(B);P ( B C ) = P ( B ) P ( C ) P(BC)=P(B)P©P(BC)=P(B)P© ;P ( A C ) = P ( A ) P ( C ) P(AC)=P(A)P©P(AC)=P(A)P©;
(3)A AA，B BB，C CC相互独立
⇔ P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) \Leftrightarrow P(AB)=P(A)P(B)⇔P(AB)=P(A)P(B); P ( B C ) = P ( B ) P ( C ) P(BC)=P(B)P©P(BC)=P(B)P© ;
P ( A C ) = P ( A ) P ( C ) P(AC)=P(A)P©P(AC)=P(A)P© ; P ( A B C ) = P ( A ) P ( B ) P ( C ) P(ABC)=P(A)P(B)P©P(ABC)=P(A)P(B)P©
7.独立重复试验

将某试验独立重复n nn次，若每次实验中事件A发生的概率为p pp，则n nn次试验中A AA发生k kk次的概率为：
P ( X = k ) = C n k p k ( 1 − p ) n − k P(X=k)=C_{n}^{k}{{p}{k}}{{(1-p)}^{n-k}}P(X=k)=C
n
k

p
k
(1−p)
n−k

8.重要公式与结论
( 1 ) P ( A ˉ ) = 1 − P ( A ) (1)P(\bar{A})=1-P(A)(1)P(
A
ˉ
)=1−P(A)
( 2 ) P ( A ⋃ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A B ) (2)P(A\bigcup B)=P(A)+P(B)-P(AB)(2)P(A⋃B)=P(A)+P(B)−P(AB)
P ( A ⋃ B ⋃ C ) = P ( A ) + P ( B ) + P ( C ) − P ( A B ) − P ( B C ) − P ( A C ) + P ( A B C ) P(A\bigcup B\bigcup C)=P(A)+P(B)+P©-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)P(A⋃B⋃C)=P(A)+P(B)+P©−P(AB)−P(BC)−P(AC)+P(ABC)
( 3 ) P ( A − B ) = P ( A ) − P ( A B ) (3)P(A-B)=P(A)-P(AB)(3)P(A−B)=P(A)−P(AB)
( 4 ) P ( A B ˉ ) = P ( A ) − P ( A B ) , P ( A ) = P ( A B ) + P ( A B ˉ ) , (4)P(A\bar{B})=P(A)-P(AB),P(A)=P(AB)+P(A\bar{B}),(4)P(A
B
ˉ
)=P(A)−P(AB),P(A)=P(AB)+P(A
B
ˉ
),
P ( A ⋃ B ) = P ( A ) + P ( A ˉ B ) = P ( A B ) + P ( A B ˉ ) + P ( A ˉ B ) P(A\bigcup B)=P(A)+P(\bar{A}B)=P(AB)+P(A\bar{B})+P(\bar{A}B)P(A⋃B)=P(A)+P(
A
ˉ
B)=P(AB)+P(A
B
ˉ
)+P(
A
ˉ
B)
(5)条件概率P ( ⋅ ∣ B ) P(\centerdot |B)P(⋅∣B)满足概率的所有性质，
例如：. P ( A ˉ 1 ∣ B ) = 1 − P ( A 1 ∣ B ) P({{\bar{A}}{1}}|B)=1-P({{A}{1}}|B)P(
A
ˉ

1

∣B)=1−P(A
1

∣B)
P ( A 1 ⋃ A 2 ∣ B ) = P ( A 1 ∣ B ) + P ( A 2 ∣ B ) − P ( A 1 A 2 ∣ B ) P({{A}{1}}\bigcup {{A}{2}}|B)=P({{A}{1}}|B)+P({{A}{2}}|B)-P({{A}{1}}{{A}{2}}|B)P(A
1

⋃A
2

∣B)=P(A
1

∣B)+P(A
2

∣B)−P(A
1

A
2

∣B)
P ( A 1 A 2 ∣ B ) = P ( A 1 ∣ B ) P ( A 2 ∣ A 1 B ) P({{A}{1}}{{A}{2}}|B)=P({{A}{1}}|B)P({{A}{2}}|{{A}{1}}B)P(A
1

A
2

∣B)=P(A
1

∣B)P(A
2

∣A
1

B)
(6)若A 1 , A 2 , ⋯ , A n {{A}{1}},{{A}{2}},\cdots ,{{A}{n}}A
1

,A
2

,⋯,A
n

相互独立，则P ( ⋂ i = 1 n A i ) = ∏ i = 1 n P ( A i ) , P(\bigcap\limits_{i=1}^{{n}{{{A}_{i}}})=\prod\limits_{i=1}}{n}{P({{A}{i}})},P(
i=1
⋂
n

A
i

)=
i=1
∏
n

P(A
i

),
P ( ⋃ i = 1 n A i ) = ∏ i = 1 n ( 1 − P ( A i ) ) P(\bigcup\limits{i=1}^{{n}{{{A}_{i}}})=\prod\limits_{i=1}}{n}{(1-P({{A}{i}}))}P(
i=1
⋃
n

A
i

)=
i=1
∏
n

(1−P(A
i

))
(7)互斥、互逆与独立性之间的关系：
A AA与B BB互逆⇒ \Rightarrow⇒ A AA与B BB互斥，但反之不成立，A AA与B BB互斥（或互逆）且均非零概率事件$\Rightarrow $A AA与B BB不独立.
(8)若A 1 , A 2 , ⋯ , A m , B 1 , B 2 , ⋯ , B n {{A}{1}},{{A}{2}},\cdots ,{{A}{m}},{{B}{1}},{{B}{2}},\cdots ,{{B}{n}}A
1

,A
2

,⋯,A
m

,B
1

,B
2

,⋯,B
n

相互独立，则f ( A 1 , A 2 , ⋯ , A m ) f({{A}{1}},{{A}{2}},\cdots ,{{A}{m}})f(A
1

,A
2

,⋯,A
m

)与g ( B 1 , B 2 , ⋯ , B n ) g({{B}{1}},{{B}{2}},\cdots ,{{B}_{n}})g(B
1

,B
2

,⋯,B
n

)也相互独立，其中f ( ⋅ ) , g ( ⋅ ) f(\centerdot ),g(\centerdot )f(⋅),g(⋅)分别表示对相应事件做任意事件运算后所得的事件，另外，概率为1（或0）的事件与任何事件相互独立.

随机变量及其概率分布
1.随机变量及概率分布

取值带有随机性的变量，严格地说是定义在样本空间上，取值于实数的函数称为随机变量，概率分布通常指分布函数或分布律

2.分布函数的概念与性质

定义： F ( x ) = P ( X ≤ x ) , − ∞ < x < + ∞ F(x) = P(X \leq x), - \infty < x < + \inftyF(x)=P(X≤x),−∞<x<+∞

性质：(1)0 ≤ F ( x ) ≤ 1 0 \leq F(x) \leq 10≤F(x)≤1

(2) F ( x ) F(x)F(x)单调不减

(3) 右连续F ( x + 0 ) = F ( x ) F(x + 0) = F(x)F(x+0)=F(x)

(4) F ( − ∞ ) = 0 , F ( + ∞ ) = 1 F( - \infty) = 0,F( + \infty) = 1F(−∞)=0,F(+∞)=1

3.离散型随机变量的概率分布

P ( X = x i ) = p i , i = 1 , 2 , ⋯ , n , ⋯ p i ≥ 0 , ∑ i = 1 ∞ p i = 1 P(X = x_{i}) = p_{i},i = 1,2,\cdots,n,\cdots\quad\quad p_{i} \geq 0,\sum_{i =1}^{\infty}p_{i} = 1P(X=x
i

)=p
i

,i=1,2,⋯,n,⋯p
i

≥0,∑
i=1
∞

p
i

=1

4.连续型随机变量的概率密度

概率密度f ( x ) f(x)f(x);非负可积，且:

(1)f ( x ) ≥ 0 , f(x) \geq 0,f(x)≥0,

(2)∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x = 1 \int_{- \infty}^{+\infty}{f(x){dx} = 1}∫
−∞
+∞

f(x)dx=1

(3)x xx为f ( x ) f(x)f(x)的连续点，则:

f ( x ) = F ′ ( x ) f(x) = F’(x)f(x)=F
′
(x)分布函数F ( x ) = ∫ − ∞ x f ( t ) d t F(x) = \int_{- \infty}^{x}{f(t){dt}}F(x)=∫
−∞
x

f(t)dt
5.常见分布

(1) 0-1分布:P ( X = k ) = p k ( 1 − p ) 1 − k , k = 0 , 1 P(X = k) = p^{k}{(1 - p)}^{1 - k},k = 0,1P(X=k)=p
k
(1−p)
1−k
,k=0,1

(2) 二项分布:B ( n , p ) B(n,p)B(n,p)： P ( X = k ) = C n k p k ( 1 − p ) n − k , k = 0 , 1 , ⋯ , n P(X = k) = C_{n}^{k}p{k}{(1 - p)}^{n - k},k =0,1,\cdots,nP(X=k)=C
n
k

p
k
(1−p)
n−k
,k=0,1,⋯,n

(3) Poisson分布:p ( λ ) p(\lambda)p(λ)： P ( X = k ) = λ k k ! e − λ , λ > 0 , k = 0 , 1 , 2 ⋯ P(X = k) = \frac{\lambda^{k}}{k!}e{-\lambda},\lambda > 0,k = 0,1,2\cdotsP(X=k)=
k!
λ
k

e
−λ
,λ>0,k=0,1,2⋯

(4) 均匀分布U ( a , b ) U(a,b)U(a,b)：f ( x ) = { 1 b − a , a < x < b 0 , f(x) = {
1b−a,a<x<b0,
1b−a,a<x<b0,
f(x)={

b−a
1

,a<x<b
0,

(5) 正态分布:N ( μ , σ 2 ) : N(\mu,\sigma^{2}):N(μ,σ
2
): φ ( x ) = 1 2 π σ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 , σ > 0 , ∞ < x < + ∞ \varphi(x) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{- \frac{{(x - \mu)}^{2}}{2\sigma{2}}},\sigma > 0,\infty < x < + \inftyφ(x)=
2π

σ
1

e
−
2σ
2

(x−μ)
2

,σ>0,∞<x<+∞

(6)指数分布:E ( λ ) : f ( x ) = { λ e − λ x , x > 0 , λ > 0 0 , E(\lambda):f(x) ={
λe−λx,x>0,λ>00,
λe−λx,x>0,λ>00,
E(λ):f(x)={

λe
−λx
,x>0,λ>0
0,

(7)几何分布:G ( p ) : P ( X = k ) = ( 1 − p ) k − 1 p , 0 < p < 1 , k = 1 , 2 , ⋯ . G§