【JZ14 剪绳子】

描述

给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长的 m 段（ m 、 n 都是整数， n > 1 并且 m > 1 ， m <= n ），每段绳子的长度记为 k[1],…,k[m] 。请问 k[1] * k[2] * … * k[m] 可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是 8 时，我们把它剪成长度分别为 2、3、3 的三段，此时得到的最大乘积是 18 。

数据范围： 2 ≤ n ≤ 60
进阶：空间复杂度 O(1) ，时间复杂度 O(n)

输入描述：
输入一个数n，意义见题面。

返回值描述：
输出答案。

示例1

输入：8返回值：18说明：8 = 2 +3 +3 , 2*3*3=18

示例2

输入：2返回值：1说明：m>1，所以切成两段长度是1的绳子

方法一：动态规划（推荐使用）

知识点：动态规划

动态规划算法的基本思想是：将待求解的问题分解成若干个相互联系的子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解；对于重复出现的子问题，只在第一次遇到的时候对它进行求解，并把答案保存起来，让以后再次遇到时直接引用答案，不必重新求解。动态规划算法将问题的解决方案视为一系列决策的结果。

思路：

一旦分出一段长度为1的小段，只会减少总长度，还不能增加乘积，因此长度为2的绳子不分比分开的乘积大，长度为3的绳子不分比分开的乘积大，长度为4的绳子分成2*2比较大。前面的我们都可以通过这样递推得到，后面的呢？

同样递推！如果我有一个长度为 n 的绳子，我们要怎么确定其分出最大的乘积，我们可以尝试其中一段不可分的为 j ，那么如果另一段n − j 最大乘积已知，我们可以遍历所有 j 找到这个最大乘积。因此用 dp[ i ] 表示长度为i的绳子可以被剪出来的最大乘积，那么后续遍历每个 j 的时候，我们取最大dp[i] = max(dp[i],j∗dp[i−j]) 就好了。

//可以被分成两份
for(int j = 1; j < i; j++)//取最大值dp[i] = max(dp[i], j * dp[i - j]);

具体做法：

step 1：检查当 number 不超过 3 的时候直接计算。
step 2：用dp数组表示长度为i的绳子可以被剪出来的最大乘积，初始化前面4个容易推断的。
step 3：遍历每个长度，对于每个长度的最大乘积，可以遍历从1到 i 的每个固定一段，按照上述公式求的最大值。
step 4：最后数组最后一位就是答案。

图示：

代码：

class Solution {public:int cutRope(int n) {//不超过3直接计算if(n <= 3)return n - 1;//dp[i]表示长度为i的绳子可以被剪出来的最大乘积vector<int> dp(n + 1, 0);dp[1] = 1;dp[2] = 2;dp[3] = 3;dp[4] = 4;//遍历后续每一个长度for(int i = 5; i <= n; i++)//可以被分成两份for(int j = 1; j < i; j++)//取最大值dp[i] = max(dp[i], j * dp[i - j]);return dp[n];}
};

运行时间：3ms
超过56.26% 用C++提交的代码
占用内存：524KB
超过51.83%用C++提交的代码
复杂度分析：
时间复杂度：O(n²)，两层遍历
空间复杂度：O(n)，辅助数组dp的空间

方法二：贪心（扩展思路）

知识点：贪心

贪心思想属于动态规划思想中的一种，其基本原理是找出整体当中给的每个局部子结构的最优解，并且最终将所有的这些局部最优解结合起来形成整体上的一个最优解。

思路：

具体做法：

step 1：按照上述思路，不超过3的直接计算
step 2：超过3的不断累乘3，然后number不断减去3，直到最后不超过4。
step 3：最后乘上剩余的数字。

代码：

class Solution {public:int cutRope(int n) {//不超过3直接计算if(n <= 3)return n - 1;int res = 1;while(n > 4){//连续乘3res *= 3;n -= 3;}return res * n;}
};

运行时间：3ms
超过56.26% 用C++提交的代码
占用内存：524KB
超过51.83%用C++提交的代码
复杂度分析：
时间复杂度： O(n)，其中nnn为绳子的长度，最坏需要计算 n / 3 次
空间复杂度： O(1)，常数级变量，无额外辅助空间
官方解释~~~

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