060202体积弧长-定积分在几何学上的应用-定积分的应用

文章目录

2 体积
- 2.1 旋转体的体积
- 2.2 平行截截面面积已知的立体的体积
- 2.3 例题
3 平面曲线的弧长
- 2.1 直接坐标系
- 2.2 参数方程
- 2.3 极坐标系
结语

2 体积

2.1 旋转体的体积

情形①平面图形由 y = f ( x ) , y = 0 , x = a , x = b y=f(x),y=0,x=a,x=b y=f(x),y=0,x=a,x=b所围成，其绕x轴一周所得旋转体的体积，如下图2.1-1所示：

解：积分变量 x ，积分区间 [ a , b ] d v = π f 2 ( x ) d x v = π ∫ a b f 2 ( x ) d x 解：积分变量x，积分区间[a,b]\\ \begin{aligned} &dv=\pi f^2(x)\mathrm{d}x\\ &v=\pi\int_a^bf^2(x)\mathrm{d}x \end{aligned} 解：积分变量x，积分区间[a,b]dv=πf2(x)dxv=π∫abf2(x)dx
②平面图形由 x = g ( y ) , x = 0 , y = c , y = d x=g(y),x=0,y=c,y=d x=g(y),x=0,y=c,y=d所围成，其绕y轴选择一周所得旋转体体积，如下图2.1-2所示：

解：积分变量 y ，积分区间 [ d , c ] d v = π g 2 ( y ) d y v = π ∫ d c g 2 ( y ) d y 解：积分变量y，积分区间[d,c]\\ \begin{aligned} &dv=\pi g^2(y)dy\\ &v=\pi\int_d^c g^2(y)dy \end{aligned} 解：积分变量y，积分区间[d,c]dv=πg2(y)dyv=π∫dcg2(y)dy
③平面图形由 y = f ( x ) , y = 0 , x = a , x = b y=f(x),y=0,x=a,x=b y=f(x),y=0,x=a,x=b所围成，其绕y轴旋转一周所得的体积，如下图2.1-3所示：

计算方式
- 方式一：紫色体积=大圆柱体积-绿色体积，很麻烦
解： V = π b 2 f ( b ) − π a 2 f ( a ) − ∫ a b f − 1 ( y ) d y 解：V=\pi b^2f(b)-\pi a^2f(a)-\int_a^b f^{-1}(y)dy 解：V=πb2f(b)−πa2f(a)−∫abf−1(y)dy
- 方式二（推荐）：柱壳法，如下图2.1-4所示：
  - 分析： [ a , b ] 任取一小段 x 到 x + d x [a,b]任取一小段x到x+dx [a,b]任取一小段x到x+dx，其绕y轴旋转一周，任意位置将其沿y轴剪开，即为下面图行所示的长方体 f ( x ) , 2 π x , d x f(x),2\pi x,dx f(x),2πx,dx
    解：积分变量 x ，积分区间 [ a , b ] ，柱壳法计算 d v = 2 π x f ( x ) d x v = 2 π ∫ a b x f ( x ) d x 解：积分变量x，积分区间[a,b]，柱壳法计算\\ \begin{aligned} &dv=2\pi xf(x)dx\\ &v=2\pi\int_a^bxf(x)dx \end{aligned} 解：积分变量x，积分区间[a,b]，柱壳法计算dv=2πxf(x)dxv=2π∫abxf(x)dx

④平面图像由 x = f ( x ) , x = g ( x ) , x = a , x = b x=f(x),x=g(x),x=a,x=b x=f(x),x=g(x),x=a,x=b所围成，其绕x轴旋转一周的旋转体体积，如下2.1-5所示：

解：绕 x 轴旋转 v = π ∫ a b ∣ f 2 ( x ) − g 2 ( x ) ∣ d x 解：绕x轴旋转\\ v=\pi\int_a^b|f^2(x)-g^2(x)|dx\\ 解：绕x轴旋转v=π∫ab∣f2(x)−g2(x)∣dx
⑤平面图像由 x = f ( y ) , x = g ( y ) , y = a , y = b x=f(y),x=g(y),y=a,y=b x=f(y),x=g(y),y=a,y=b所围成，其绕y轴旋转一周的旋转体体积，如下2.1-6所示：

绕 y 轴旋转 v = π ∫ a b ∣ f 2 ( y ) − g 2 ( y ) ∣ d y 绕y轴旋转\\ v=\pi\int_a^b|f^2(y)-g^2(y)|dy\\ 绕y轴旋转v=π∫ab∣f2(y)−g2(y)∣dy
⑥ 1 ° 由 y = f ( x ) , y = 0 , x = a , x = b 1^\degree\quad 由y=f(x),y=0,x=a,x=b 1°由y=f(x),y=0,x=a,x=b所围图形绕 x = c , y = d x=c,y=d x=c,y=d旋转一周所得旋转体的体积，如下图2.1-7所示：

解：柱壳法，当 c < a 时， d v = 2 π ( x − c ) f ( x ) d x , v = 2 π ∫ a b ( x − c ) f ( x ) d x 当 c > a 时， v = 2 π ∫ a b ( c − x ) d x ∴ v = 2 π ∫ a b ∣ x − c ∣ f ( x ) d x 图形绕 y = d 旋转时， v = π ∣ ∫ a b [ f ( x ) − d ] 2 − d 2 ∣ d x 解：柱壳法，当c\lt a时，dv=2\pi(x-c)f(x)dx,v=2\pi\int_a^b(x-c)f(x)dx\\ 当c\gt a时，v=2\pi\int_a^b(c-x)dx\\ ∴v=2\pi\int_a^b|x-c|f(x)dx\\ 图形绕y=d旋转时， v=\pi|\int_a^b[f(x)-d]^2-d^2|dx 解：柱壳法，当c<a时，dv=2π(x−c)f(x)dx,v=2π∫ab(x−c)f(x)dx当c>a时，v=2π∫ab(c−x)dx∴v=2π∫ab∣x−c∣f(x)dx图形绕y=d旋转时，v=π∣∫ab[f(x)−d]2−d2∣dx
2 ° 由 y = f ( x ) , y = g ( x ) , x = a , x = b 2^\degree\quad由y=f(x),y=g(x),x=a,x=b 2°由y=f(x),y=g(x),x=a,x=b所围成图形绕 x = c , y = d x=c,y=d x=c,y=d旋转一周所得旋转体的体积，如下图2.1-8所示：

解：绕 x = c 所得旋转体体积： v = 2 π ∫ a b ∣ ( x − c ) [ f ( x ) − g ( x ) ] ∣ d x 绕 y = d 所得旋转体体积： v = π ∫ a b ∣ [ f ( x ) − d ] 2 − [ g ( x ) − d ] 2 ∣ d x 解：绕x=c所得旋转体体积：\\ v=2\pi\int_a^b|(x-c)[f(x)-g(x)]|dx\\ 绕y=d所得旋转体体积：\\ v=\pi\int_a^b|[f(x)-d]^2-[g(x)-d]^2|dx 解：绕x=c所得旋转体体积：v=2π∫ab∣(x−c)[f(x)−g(x)]∣dx绕y=d所得旋转体体积：v=π∫ab∣[f(x)−d]2−[g(x)−d]2∣dx
3 ° 由 x = g ( y ) , x = 0 , y = c , y = d 3^\degree\quad由x=g(y),x=0,y=c,y=d 3°由x=g(y),x=0,y=c,y=d所围图形绕 x = a , y = b x=a,y=b x=a,y=b旋转一周所得旋转体的体积，如下图2.1-9所示：

解：绕 x = a 体积 v = π ∫ c d ∣ [ g ( y ) − a ] 2 − a 2 ∣ d y 绕 y = b 体积 v = 2 π ∫ c d ∣ y − b ∣ g ( y ) d y 解：绕x=a体积v=\pi\int_c^d|[g(y)-a]^2-a^2|dy\\ 绕y=b体积v=2\pi\int_c^d|y-b|g(y)dy 解：绕x=a体积v=π∫cd∣[g(y)−a]2−a2∣dy绕y=b体积v=2π∫cd∣y−b∣g(y)dy
4 ° 由 x = ξ ( y ) , y = ϕ ( y ) , y = c , y = d 4\degree\quad由x=\xi(y),y=\phi(y),y=c,y=d 4°由x=ξ(y),y=ϕ(y),y=c,y=d所围图形绕 x = a , x = b x=a,x=b x=a,x=b旋转一周所得旋转体的体积，如下图2.1-10所示：

解：绕 x = a 体积 v = π ∫ c d ∣ [ ξ ( y ) − a ] 2 − [ ϕ ( y ) − a ] 2 ∣ d x 绕 y = b 体积 v = 2 π ∫ c d ∣ y − b ∣ [ ξ ( y ) − ϕ ( y ) ] d y 解：绕x=a体积v= \pi\int_c^d|[\xi(y)-a]^2-[\phi(y)-a]^2|dx\\ 绕y=b体积v=2\pi\int_c^d|y-b|[\xi(y)-\phi(y)]dy 解：绕x=a体积v=π∫cd∣[ξ(y)−a]2−[ϕ(y)−a]2∣dx绕y=b体积v=2π∫cd∣y−b∣[ξ(y)−ϕ(y)]dy

2.2 平行截截面面积已知的立体的体积

一般，设有立体位于x轴上 a , b 点之间， ∀ x ∈ [ a , b ] a,b点之间，\forall x\in[a,b] a,b点之间，∀x∈[a,b]过x点的立体截面面积已知为A(x),求物体体积，如下图2.2-1所示：

解： v = ∫ a b A ( x ) d x 解：v=\int_a^bA(x)dx 解：v=∫abA(x)dx

2.3 例题

例1 连接坐标原点0及点p(h,r)的直线直线x=h及x轴围成的直角三角形绕x轴一周所得圆锥体的体积，如下图2.3-1所示：

解：去 x 为积分变量，积分区间 [ 0 , h ] , 则 v = ∫ 0 h π ( x r h ) 2 d x = r 2 h 2 π ∫ 0 h x 2 d x = π r 2 h 3 解：去x为积分变量，积分区间[0,h],则\\ v=\int_0^h\pi(x\frac{r}{h})^2dx=\frac{r^2}{h^2}\pi\int_0^hx^2dx\\ =\frac{\pi r^2h}{3} 解：去x为积分变量，积分区间[0,h],则v=∫0hπ(xhr)2dx=h2r2π∫0hx2dx=3πr2h
例2 计算椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 a2x2+b2y2=1所围图形绕 x x x轴一周所围成旋转体的体积，如下图2.3-2所示：

解：由图纸椭球体左右对称，我们计算 x > 0 的部分 y = b 1 − x 2 a 2 , 去 x 为积分变量，变化区间为 [ 0 , a ] v = 2 ∫ 0 a π y 2 d x = 2 π ∫ 0 a ( b 1 − x 2 a 2 ) 2 d x = 2 b 2 π ∫ 0 a ( 1 − x 2 a 2 ) d x = 4 3 a b 2 π 解：由图纸椭球体左右对称，我们计算x\gt0的部分\\ y=b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}},去x为积分变量，变化区间为[0,a]\\ v=2\int_0^a\pi y^2dx=2\pi\int_0^a(b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}})^2dx\\ =2b^2\pi\int_0^a(1-\frac{x^2}{a^2})dx=\frac{4}{3}ab^2\pi 解：由图纸椭球体左右对称，我们计算x>0的部分y=b1−a2x2 ,去x为积分变量，变化区间为[0,a]v=2∫0aπy2dx=2π∫0a(b1−a2x2 )2dx=2b2π∫0a(1−a2x2)dx=34ab2π
注：

如果绕y轴旋转所得旋转体体积为： 4 3 π a 2 b \frac{4}{3}\pi a^2b 34πa2b

例3 有摆线
{ x = a ( t − sin ⁡ t ) y = a ( 1 − cos ⁡ t ) 的一拱与 y = 0 所围成图形 \begin{cases} x=a(t-\sin t)\\ y=a(1-\cos t) \end{cases} 的一拱与y=0所围成图形 {x=a(t−sint)y=a(1−cost)的一拱与y=0所围成图形
分别绕x,y轴旋转所得旋转体的体积,如下图2.3-3所示：

解：绕 x 轴旋转，取积分变量 x ，变化区间为 [ 0 , 2 π a ] v = ∫ 0 2 π a π y 2 d x = π ∫ 0 2 π a 2 ( 1 − cos ⁡ t ) 2 d [ a ( t − sin ⁡ t ) ] = π a 3 ∫ 0 2 π ( 1 − cos ⁡ t ) 3 d t = π a 3 ∫ 0 2 π ( 1 − 3 cos ⁡ t + 3 cos ⁡ 2 t − cos ⁡ 3 t ) d t = π a 3 ( 2 π − 0 + 12 ⋅ 1 2 ⋅ π 2 − 0 ) = 5 π 2 a 3 绕 y 轴旋转体，柱壳法，取积分变量 x ，变化区间 [ 0 , 2 π a ] v = ∫ 0 2 π a 2 π x f ( x ) d x = 2 π ∫ 0 2 π a ( t − sin ⁡ t ) ⋅ a ( 1 − cos ⁡ t ) d [ a ( t − sin ⁡ t ) ] = 2 π a 3 ∫ 0 2 π ( t − sin ⁡ t − 2 t cos ⁡ t + 2 sin ⁡ t cos ⁡ t − sin ⁡ t cos ⁡ 2 t + t cos ⁡ 2 t ) d t = 6 π 3 a 3 解：绕x轴旋转，取积分变量x，变化区间为[0,2\pi a]\\ v=\int_0^{2\pi a}\pi y^2dx=\pi\int_0^{2\pi}a^2(1-\cos t)^2d[a(t-\sin t)]\\ =\pi a^3\int_0^{2\pi}(1-\cos t)^3dt=\pi a^3\int_0^{2\pi}(1-3\cos t+3\cos^2t-\cos^3t)dt\\ =\pi a^3(2\pi-0+12\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}-0)=5\pi^2a^3\\ 绕y轴旋转体，柱壳法，取积分变量x，变化区间[0,2\pi a]\\ v=\int_0^{2\pi a}2\pi xf(x)dx=2\pi\int_0^{2\pi}a(t-\sin t)\cdot a(1-\cos t)d[a(t-\sin t)]\\ =2\pi a^3\int_0^{2\pi}(t-\sin t -2t\cos t+2\sin t\cos t-\sin t\cos^2t+t\cos^2t)dt\\ =6\pi^3a^3 解：绕x轴旋转，取积分变量x，变化区间为[0,2πa]v=∫02πaπy2dx=π∫02πa2(1−cost)2d[a(t−sint)]=πa3∫02π(1−cost)3dt=πa3∫02π(1−3cost+3cos2t−cos3t)dt=πa3(2π−0+12⋅21⋅2π−0)=5π2a3绕y轴旋转体，柱壳法，取积分变量x，变化区间[0,2πa]v=∫02πa2πxf(x)dx=2π∫02πa(t−sint)⋅a(1−cost)d[a(t−sint)]=2πa3∫02π(t−sint−2tcost+2sintcost−sintcos2t+tcos2t)dt=6π3a3

例4 求由圆 ( x − 2 ) 2 + y 2 = 1 绕 x = − 1 (x-2)^2+y^2=1绕x=-1 (x−2)2+y2=1绕x=−1旋转而成旋转体的体积，如下图2.3-4所示：

解：方法一，积分变量取 y ，积分区间 [ − 1 , 1 ] v = ∫ − 1 1 [ π ( 2 + 1 − y 2 + 1 ) 2 − π ( 2 − 1 − y 2 + 1 ) 2 ] d x = 2 π ∫ 0 1 6 ⋅ 2 1 − y 2 d y = 24 π ( y 2 1 − y 2 + 1 2 arcsin ⁡ x ) ∣ 0 1 = 6 π 2 方法二 , 积分变量取 x ，积分区间 [ 1 , 3 ] v = ∫ 1 3 2 π ( x + 1 ) ⋅ 2 1 − ( x − 2 ) 2 d x = 4 π ∫ 1 3 ( x + 1 ) 1 − ( x − 2 ) 2 ) d x 令 x − 2 = s i n t , t ∈ [ − π 2 , π 2 ] v = 4 π ∫ − π 2 π 2 ( sin ⁡ t + 3 ) cos ⁡ 2 t d t = 0 + 24 π ∫ 0 π 2 cos ⁡ 2 t d t = 6 π 2 解：方法一，积分变量取y，积分区间[-1,1]\\ v=\int_{-1}^1[\pi(2+\sqrt{1-y^2}+1)^2-\pi(2-\sqrt{1-y^2}+1)^2]dx\\ =2\pi\int_0^16\cdot2\sqrt{1-y^2}dy=24\pi(\frac{y}{2}\sqrt{1-y^2}+\frac{1}{2}\arcsin x)|_0^1=6\pi^2\\ 方法二,积分变量取x，积分区间[1,3]\\ v=\int_1^3 2\pi(x+1)\cdot2\sqrt{1-(x-2)^2}dx=4\pi\int_1^3(x+1)\sqrt{1-(x-2)^2})dx\\ 令x-2=sin t,t\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\\ v=4\pi\int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2}(\sin t+3)\cos^2tdt=0+24\pi\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^2tdt=6\pi^2 解：方法一，积分变量取y，积分区间[−1,1]v=∫−11[π(2+1−y2 +1)2−π(2−1−y2 +1)2]dx=2π∫016⋅21−y2 dy=24π(2y1−y2 +21arcsinx)∣01=6π2方法二,积分变量取x，积分区间[1,3]v=∫132π(x+1)⋅21−(x−2)2 dx=4π∫13(x+1)1−(x−2)2 )dx令x−2=sint,t∈[−2π,2π]v=4π∫−2π2π(sint+3)cos2tdt=0+24π∫02πcos2tdt=6π2

例5 一平面经过半径为R的圆柱体底圆中心且与底面之角为 α \alpha α，计算平面截圆柱体所得立体的体积，如下图2.3-5所示：

解：取平面与圆柱体地面交线为 x 轴，地面上过圆心且垂直于 x 轴的直线为 y 轴，那么底原方程 x 2 + y 2 = R 2 A ( x ) = 1 2 R 2 − x 2 ⋅ R 2 − x 2 ⋅ tan ⁡ α v = 1 2 tan ⁡ α ∫ − R R ( R 2 − x 2 ) d x = tan ⁡ α ∫ 0 R ( R 2 − x 2 ) d x = 2 3 R 3 tan ⁡ α 解：取平面与圆柱体地面交线为x轴，地面上过圆心且垂直于x轴的直线为y轴，那么底原方程x^2+y^2=R^2\\ A(x)=\frac{1}{2}\sqrt{R^2-x^2}\cdot\sqrt{R^2-x^2}\cdot\tan\alpha\\ v=\frac{1}{2}\tan\alpha\int_{-R}^R(R^2-x^2) dx=\tan\alpha\int_0^R(R^2-x^2)dx\\ =\frac{2}{3}R^3\tan\alpha 解：取平面与圆柱体地面交线为x轴，地面上过圆心且垂直于x轴的直线为y轴，那么底原方程x2+y2=R2A(x)=21R2−x2 ⋅R2−x2 ⋅tanαv=21tanα∫−RR(R2−x2)dx=tanα∫0R(R2−x2)dx=32R3tanα
例6 求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积，如下图所示：

解：取底圆所在平面为 x o y 平面，圆心 o 为原点，并使 x 轴与正劈锥的顶平行。底圆方程 x 2 + y 2 = R 2 A ( x ) = R 2 − x 2 h v = ∫ − R R A ( x ) d x = 2 h ∫ 0 R R 2 − x 2 d x = π R 2 h 2 解：取底圆所在平面为xoy平面，圆心o为原点，并使x轴与正劈锥的顶平行。底圆方程x^2+y^2=R^2\\ A(x)=\sqrt{R^2-x^2}h\\ v=\int_{-R}^RA(x)dx=2h\int_0^R\sqrt{R^2-x^2}dx=\frac{\pi R^2h}{2} 解：取底圆所在平面为xoy平面，圆心o为原点，并使x轴与正劈锥的顶平行。底圆方程x2+y2=R2A(x)=R2−x2 hv=∫−RRA(x)dx=2h∫0RR2−x2 dx=2πR2h

3 平面曲线的弧长

已知一平面曲线 y = f ( x ) , x ∈ [ a , b ] , f ( x ) y=f(x),x\in[a,b],f(x) y=f(x),x∈[a,b],f(x)具有一阶连续导，求该曲线弧KaTeX parse error: Undefined control sequence: \overparen at position 1: \̲o̲v̲e̲r̲p̲a̲r̲e̲n̲{AB}的长度，如下图3-1所示：

复习：弧微分 d s = ( d x ) 2 + ( d y ) 2 ds=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2} ds=(dx)2+(dy)2

以下我们省略求定积分的过程分隔、取近似值、求和、求极限

2.1 直接坐标系

弧长 s = ∫ a b 1 + ( y ′ ) 2 d x s=\int_a^b\sqrt{1+(y^{'})^2}dx s=∫ab1+(y′)2 dx

例1 求 y = 2 3 x 3 2 y=\frac{2}{3}x^\frac{3}{2} y=32x23上相应于从 a 到 b a到b a到b的一段弧的长度，如下图2.1-1所示：

解：弧长 s = ∫ a b 1 + ( y ′ ) 2 d x = ∫ a b 1 + x d x = 2 3 ( 1 + x ) 3 2 ∣ a b = 2 3 [ ( 1 + b ) 3 2 − ( 1 + a ) 3 2 ] 解：弧长s=\int_a^b\sqrt{1+(y^{'})^2}dx=\int_a^b\sqrt{1+x}dx=\frac{2}{3}(1+x)^\frac{3}{2}|_a^b=\frac{2}{3}[(1+b)^\frac{3}{2}-(1+a)^\frac{3}{2}] 解：弧长s=∫ab1+(y′)2 dx=∫ab1+x dx=32(1+x)23∣ab=32[(1+b)23−(1+a)23]
例2 计算半立方抛物线 y 2 = 2 3 ( x − 1 ) 3 y^2=\frac{2}{3}(x-1)^3 y2=32(x−1)3被抛物线 y 2 = x 3 y^2=\frac{x}{3} y2=3x截得的一段弧的长度，如下图2.1-2所示：

解：方程组 { y 2 = 2 3 ( x − 1 ) 3 , y 2 = x 3 的 x = 2 , y = ± 6 3 s = ∫ 1 2 1 + ( y ′ ) 2 d x = ∫ 1 2 1 + 3 2 ( x − 1 ) d x = 8 9 [ 5 2 3 2 − 1 ] 解：方程组 \begin{cases} &y^2=\frac{2}{3}(x-1)^3,\\ &y^2=\frac{x}{3} \end{cases} 的x=2,y=\pm\frac{\sqrt{6}}{3}\\ s=\int_1^2\sqrt{1+(y^{'})^2}dx=\int_1^2\sqrt{1+\frac{3}{2}(x-1)}dx\\ =\frac{8}{9}[\frac{5}{2}^\frac{3}{2}-1] 解：方程组{y2=32(x−1)3,y2=3x的x=2,y=±36 s=∫121+(y′)2 dx=∫121+23(x−1) dx=98[2523−1]

2.2 参数方程

设曲线 y = f ( x ) 的参数方程为 y=f(x)的参数方程为 y=f(x)的参数方程为
{ x = ϕ ( t ) y = ξ ( t ) , ( α < t < β ) \begin{cases} x=\phi(t)\\ y=\xi(t) \end{cases} ,(\alpha\lt t\lt\beta)\\ {x=ϕ(t)y=ξ(t),(α<t<β)
在 [ α , β ] [\alpha,\beta] [α,β]上具有连续导数。

则 d s = ( d x ) 2 + ( d y ) 2 = [ ϕ ′ ( t ) ] 2 + [ ξ ′ ( t ) ] 2 ds=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}=\sqrt{[\phi^{'}(t)]^2+[\xi^{'}(t)]^2} ds=(dx)2+(dy)2 =[ϕ′(t)]2+[ξ′(t)]2

s = ∫ α β [ ϕ ′ ( t ) ] 2 + [ ξ ′ ( t ) ] 2 d t s=\int_\alpha^\beta\sqrt{[\phi^{'}(t)]^2+[\xi^{'}(t)]^2}dt s=∫αβ[ϕ′(t)]2+[ξ′(t)]2 dt

例题计算摆线
{ x = a ( θ − sin ⁡ θ ) y = a ( 1 − cos ⁡ θ ) \begin{cases} x=a(\theta-\sin \theta)\\ y=a(1-\cos\theta) \end{cases} {x=a(θ−sinθ)y=a(1−cosθ)
的一拱 ( 0 ≤ θ ≤ 2 π ) (0\le\theta\le2\pi) (0≤θ≤2π)的长度,如下图2.2-1所示：

解： s = ∫ 0 2 π ( x ′ ) 2 + ( y ′ ) 2 d θ = ∫ 0 2 π a 2 ( 1 − cos ⁡ θ ) 2 + a 2 sin ⁡ 2 θ d θ = 2 a ∫ 0 2 π 1 − cos ⁡ θ d θ = 8 a 解：s=\int_0^{2\pi}\sqrt{(x^{'})^2+(y^{'})^2}d\theta=\int_0^{2\pi}\sqrt{a^2(1-\cos\theta)^2+a^2\sin^2\theta}d\theta\\ =\sqrt{2}a\int_0^{2\pi}\sqrt{1-\cos\theta}d\theta=8a 解：s=∫02π(x′)2+(y′)2 dθ=∫02πa2(1−cosθ)2+a2sin2θ dθ=2 a∫02π1−cosθ dθ=8a

2.3 极坐标系

设曲线极坐标方程为 ρ = ρ ( θ ) , ( α < θ < β ) \rho=\rho(\theta),(\alpha\lt\theta\lt\beta) ρ=ρ(θ),(α<θ<β)。其中 ρ = ρ ( θ ) 在 [ α , β ] \rho=\rho(\theta)在[\alpha,\beta] ρ=ρ(θ)在[α,β]上具有连续导数。

则直接坐标系参数方程是
{ x = ρ ( θ ) ⋅ cos ⁡ θ y = ρ ( θ ) ⋅ sin ⁡ θ , ( α < θ < β ) \begin{cases} x=\rho(\theta)\cdot\cos\theta\\ y=\rho(\theta)\cdot\sin\theta \end{cases} ,(\alpha\lt \theta\lt\beta) {x=ρ(θ)⋅cosθy=ρ(θ)⋅sinθ,(α<θ<β)
弧长元素： d s = ( d x ) 2 + ( d y ) 2 d θ = ρ 2 ( θ ) + ( ρ ′ ( θ ) ) 2 d θ ds=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}d\theta=\sqrt{\rho^2(\theta)+(\rho^{'}(\theta))^2}d\theta ds=(dx)2+(dy)2 dθ=ρ2(θ)+(ρ′(θ))2 dθ

弧长： s = ∫ α β ρ 2 ( θ ) + ( ρ ′ ( θ ) ) 2 d θ s=\int_\alpha^\beta\sqrt{\rho^2(\theta)+(\rho^{'}(\theta))^2}d\theta s=∫αβρ2(θ)+(ρ′(θ))2 dθ

例题：求阿基米德螺线 ρ = a θ ( a > 0 ) \rho=a\theta(a\gt0) ρ=aθ(a>0)相应于 θ 从 0 到 2 π \theta从0到2\pi θ从0到2π的弧长，如下图2.3-1所示：

解： s = ∫ 0 2 π ρ 2 ( θ ) + ( ρ ′ ( θ ) ) 2 d θ = ∫ 0 2 π a 2 θ 2 + a 2 d θ = a 2 [ 2 π 1 + 4 π 2 + ln ⁡ ( 2 π + 1 + 4 π 2 ) ] 解：s=\int_0^{2\pi}\sqrt{\rho^2(\theta)+(\rho^{'}(\theta))^2}d\theta\\ =\int_0^{2\pi}\sqrt{a^2\theta^2+a^2}d\theta=\frac{a}{2}[2\pi\sqrt{1+4\pi^2}+\ln(2\pi+\sqrt{1+4\pi^2})] 解：s=∫02πρ2(θ)+(ρ′(θ))2 dθ=∫02πa2θ2+a2 dθ=2a[2π1+4π2 +ln(2π+1+4π2 )]

结语

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参考：

[1]同济大学数学系.高等数学第七版上册[M].北京:高等教育出版社,2014.7.p276-286.

[2]同济七版《高等数学》全程教学视频[CP/OL].2020-04-16.p39.