如何写出三体的MATLAB程序-代码篇

写在前面

在上文当中我们已经对三个物体之间的受力进行了分析，也说明了在时间 t t t下的加速度、速度和位移的计算方式。

本篇中将根据上一篇的公式来写出对应的代码，并且详细说明一下如何去构建一个程序的框架。

本文所有代码均在我的Github中存有备份，可下载后直接运行，点击Github: HanpuLiang/Three-Body-by-MATLAB即可进入。

构建框架

基本变量

我们首先要确定，物体本身具有哪些物理量？

质量、加速度、速度、坐标。

其中加速度和坐标为矢量，当在计算过程当中可以将其正交分解为 x x x与 y y y轴的标量。

其余的量我们还可以设置一下，诸如：物体运动的时间长度、我们计算所需要的时间间隔、万有引力常数等。

对于我们要做出的图像大小也需要设置一下，比如说 x x x轴范围， y y y轴范围等。

程序流程

初始化

首先需要初始化，确定三个物体在初始状态的情况:初始坐标、初始速度(大小与方向)。所以一共需要三个量：坐标、速度大小、速度相对 x x x轴角度。

物体的加速度可以直接由万有引力公式计算出来，为了计算方便，需要将其正交分解与叠加。

随着时间演变

物体开始运动了，但是因为我们无法给出一段连续的时间，只能计算在极小的时间间隔 Δ t \Delta t Δt之后物体所在的位置。

所以在 t → t + D e l t a t t\to t+Delta t t→t+Deltat时间，首先计算出当前位置的加速度，然后根据这个加速度算出当前的速度，再根据这个速度算出经历过 Δ t \Delta t Δt时间后的位移变化量，再将这个位移变化量叠加到 t t t的位置上。

这样子就完成了一个循环。

可以将其写成一个流程图

Created with Raphaël 2.2.0 确定基本变量与物理量对物体进行初始化到达时间终点？结束计算加速度计算速度计算位置 yes no

作图

之前按道理，我们应该将每一个时间点的值放在一个矩阵内，这样子我们就可以得到随之间变化的所有物理量。

这样子我们就可以直接做出随着时间变化的各个物理量的图，如 t − v t-v t−v和 t − a t-a t−a以及 t − θ t-\theta t−θ等。

如果我们想要做出小球的运动图，那就需要 t t t时刻及其之前(做出尾迹)的数据进行作图。

实际代码

基本变量-代码

首先是初始化

%% 初始条件
% 初始条件为以圆心为(0, 0)半径r的圆上有三个等质量的点
r = 10;
% 坐标(等边三角形)
pos0 = [0, r; r/2*sqrt(3), -r/2; -r/2*sqrt(3), -r/2];
% 速度大小
v0 = [6, 6, 6];
% 速度方向(x轴正方向为参考)
theta0 = [0, 4*pi/3, 2*pi/3];%% 参数设置
global G dt m x_min x_max y_min y_max time_end isOutVideo;
% 结束时间
time_end = 2;
% 时间间隔
dt = 0.05;
% 万有引力系数，随便设置的
G = 1;
% 质量
m = [1000, 1000, 1000];
% 小球个数
N = length(v0);
% 图像边界
x_min = -25;
x_max = -x_min;
y_min = x_min;
y_max = -y_min;
% 是否输出视频图像
isOutVideo = true;

初始化-代码

然后是将我们的初始值放入矩阵中，因为我们初始值设定的是角度与速度大小，所以首先要把 v v v给分解为 x y xy xy轴上的。

%% 初始设置
time = 0:dt:time_end;
% 坐标
pos = zeros(N, 2, length(time));
pos(:,:,1) = pos0;
% 速度
vx = zeros(length(time), N);
vx(1,:) = v0.*cos(theta0);
vy = zeros(length(time), N);
vy(1,:) = v0.*sin(theta0);
% 加速度大小
a = zeros(length(time), N);

迭代开始

迭代的话这一步其实就和我们的逻辑很像了，不过之所以主代码这么简介，是因为我把一大堆复杂的内容全部放到了函数里面，只留个接口调用，这样子可以让主代码更加简洁明了。

%% 迭代开始
for t = 2:length(time)% 得到分加速度da = calAcceleration(pos(:,:,t-1));% 计算速度[vx(t,:), vy(t,:)] = calVelocity(vx(t-1,:), vy(t-1,:), da);% 计算位移pos(:,:,t) = calDisplacement(vx(t-1:t,:), vy(t-1:t,:), pos(:,:,t-1));
end

对于计算加速度的函数，主要的原理还是和上一篇讲的一样，通过万有引力公式求解，然后正交分解并叠加。

% 计算x与y轴加速度变化量da(3x2)
function da = calAcceleration(pos)global m;% 小球数量[n, ~] = size(pos);da = zeros(n, 2);for i = 1:ndax = 0;day = 0;for j = 1:nif i ~= j% i小球和j小球相对角度与距离[theta, r] = calRelatively(pos(i,:), pos(j,:));% 两个小球的引力大小F = calGravitation(r, i, j);% 第i个小球收到来自j的加速度分量dax = dax + F/m(i)*cos(theta);day = day + F/m(i)*sin(theta);endendda(i,:) = [dax, day];end
end% 计算两个小球的相对角度与距离
function [theta, r] = calRelatively(pos1, pos2)dx = pos2(1) - pos1(1);dy = pos2(2) - pos1(2);r = sqrt(dx^2 + dy^2);theta = acos(dx/r);% 因为cos值的两个象限需要区分，所以这里要变换if dy < 0 && dx >0theta = -theta;endif dx < 0 && dy < 0theta = (pi-theta)+pi;end
end% 计算两个小球引力大小
function F = calGravitation(r, i, j)global m G;F = G*m(i)*m(j)/r^2;
end

计算速度的函数，这个就很简单了，简单的速度与加速度公式。

% 计算小球的速度变化
function [vx, vy] = calVelocity(vx_p, vy_p, da)global dt;vx = vx_p + dt*da(:,1)';vy = vy_p + dt*da(:,2)';
end

计算当前坐标，方法同公式。

% 计算小球的位移变化
function pos = calDisplacement(vx, vy, pos_p)global dt;vx = vx';vy = vy';% 计算下一时刻的坐标pos(:,1) = pos_p(:,1) + (vx(:,1)+vx(:,2))/2*dt;pos(:,2) = pos_p(:,2) + (vy(:,1)+vy(:,2))/2*dt;
end

作图-代码

作图的话就没有这么简单了，因为还需要设置一大堆比较麻烦的图像参数。

对于做轨迹图，可以通过以下代码实现

% 做轨迹图像
plotPosition(pos, vx, vy, time)% 做运动图像并保存视频
function plotPosition(pos, vx, vy, time)global isOutVideo;figure(1)if isOutVideo == true% 创建视频句柄，视频名称three_body.aviwriterObj = VideoWriter('three_body.avi');open(writerObj);myMovie(1:length(time)) = struct('cdata', [], 'colormap', []);end% 迭代计算得到图像for t = 1:length(time)plotPosVec(pos(:,:,t), vx(t,:), vy(t,:), t, pos)if isOutVideo == trueframe = getframe;% 修改帧参数frame.cdata = imresize(frame.cdata, [685, 685]);writeVideo(writerObj, frame);endend% 关闭视频句柄if isOutVideo == trueclose(writerObj);end
end% 作图位置+速度矢量
function plotPosVec(pos, vx, vy, t, pos_all)% 小球global x_min x_max y_min y_max;figure(1)scatter(pos(:,1), pos(:,2), 'ok', 'filled')% 图像细节调整axis equalbox ongrid onset(gca, 'linewidth', 1.5, 'xtick', floor(linspace(x_min, x_max, 11)), 'ytick', floor(linspace(y_min, y_max, 11)))hold on% 三条速度线for i = 1:length(vx)line([pos(i,1) pos(i,1)+vx(i)/2], [pos(i,2), pos(i,2)+vy(i)/2], 'linewidth', 1.2)end% 添加轨道线plotCurrentTrace(pos_all, t)% 添加文本text(x_max*13/25, y_min*20/25, 'Made By Liang Hanpu', 'horiz', 'center', 'color', 'r')axis([x_min x_max y_min y_max])hold off
end% 输出轨迹线
function plotCurrentTrace(pos, t)global x_min x_max y_min y_max;if t ~= 0[a, ~, ~] = size(pos);hold onaxis equalbox ongrid onset(gca, 'linewidth', 1.5)axis([x_min x_max y_min y_max])for i = 1:ax = zeros(1, t);y = zeros(1, t);for j = 1:tx(j) = pos(i, 1, j);y(j) = pos(i, 2, j);endplot(x, y, 'linewidth', 1.5)endend
end

对于做时间随速度大小与角度的图像，可以由以下函数实现，这个就比较简单了。

% 做速度随时间图像
plotVelocity(vx, vy)% 输出三个小球速度变化图与角度变化图
function plotVelocity(vx, vy)global dt time_end;    % 速度v = sqrt(vx.^2 + vy.^2);t = (0:dt:time_end)'*ones(1,3);% 角度theta = acos(vx./v);theta(vx>0&vy<0) = 2*pi-theta(vx>0&vy<0);theta(vx<0&vy<0) = (pi-theta(vx<0&vy<0))+pi;figureplot(t, v, 'linewidth', 1.2)box onxlabel('Time', 'fontsize', 16)ylabel('Velocity' , 'fontsize', 16)set(gca, 'linewidth', 1.2)figureplot(t,theta, 'linewidth', 1.2)xlabel('Time', 'fontsize', 16)ylabel('Angle \theta' , 'fontsize', 16)set(gca, 'linewidth', 1.2)
end

做出来的图的趋势还是比较有趣的

最后

以上就是全部内容，我将会全部放在我的Github中，地址在文章开头有。

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