GNSS 坐标转换

GNSS计算主要涉及三个坐标系，地心地固坐标系，地理坐标系和站心坐标系。这里主要介绍一下三个坐标的含义和转换公式。

地心地固坐标系如图X,Y,Z表示 (ECEF坐标系)，以地心O为坐标原点，Z轴指向协议地球北极，X轴指向参考子午面与地球赤道的交点，也叫地球坐标系。一般GNSS坐标计算都在地心地固坐标系下进行的。由于地球是椭圆形，有WGS-84和CGC2000等多种标准

地理坐标系则通过经度(longitude)，纬度(latitude)和高度(altitude)来表示地球的位置，也叫经纬高坐标系(LLA坐标系)。

站心坐标系以用户所在位置P为坐标原点，三个轴分别指向东向，北向和天向，也叫东北天坐标系(enu坐标系)。站心坐标系的天向方向和地理坐标系的高度方向是一致的。站心坐标系用在惯性导航和卫星俯仰角计算中较多。

参数

WGS-84

CGC200

基准椭球体的长半径a

6378137.0 m

6378137.0 m

基准椭球体的极扁率f

1/298.257223565

1/298.257223563

地球自转角速度We

7.2921151467*1e-5

7.2921151467*1e-5

地球引力和地球质量的乘积GM

3986004.418*1e8

3986004.418*1e8

光速

2.99792458*1e8 m/s

2.99792458*1e8 m/s

LLA坐标系转ECEF坐标系

LLA坐标系下的(lon,lat,alt)转换为ECEF坐标系下点(X,Y,Z)

$$\begin{cases} X=(N+alt)cos(lat)cos(lon)\ Y=(N+alt)cos(lat)sin(lon)\ Z=(N(1-e^2)+alt)sin(lat) \end{cases}$$

其中e为椭球偏心率，N为基准椭球体的曲率半径 $$\begin{cases} e^2=\frac{a^2-b^2}{a^2}\ N=\frac{a}{\sqrt{1-e^2sin^2lat}} \end{cases}$$

由于WGS-84下极扁率$f=\frac{a-b}{a}$,偏心率e和极扁率f之间的关系： $$e^2=f(2-f)$$

坐标转换公式也可以为 $$\begin{cases} X=(N+alt)cos(lat)cos(lon)\ Y=(N+alt)cos(lat)sin(lon)\ Z=(N(1-f)^2+alt)sin(lat) \end{cases}$$

$$N=\frac{a}{\sqrt{1-f(2-f)sin^2lat}}$$

python实现

def lla2ecef(lat,lon,alt):

WGS84_A = 6378137.0

WGS84_f = 1/298.257223565

WGS84_E2 = WGS84_f*(2-WGS84_f)

deg2rad = math.pi/180.0

rad2deg = 180.0/math.pi

lat *= deg2rad

lon *= deg2rad

N = WGS84_A/(math.sqrt(1-WGS84_E2*math.sin(lat)*math.sin(lat)))

x = (N+alt)*math.cos(lat)*math.cos(lon)

y = (N+alt)*math.cos(lat)*math.sin(lon)

z = (N*(1-WGS84_f)*(1-WGS84_f)+alt)*math.sin(lat)

return [x,y,z]

ECEF坐标系转LLA坐标系

ECEF坐标系下点(X,Y,Z)转换为LLA坐标系下的(lon,lat,alt)

$$lon=arctan(\frac{y}{x})$$ $$alt=\frac{p}{cos(lat)-N}$$ $$lat=arctan\bigg[\frac{z}{p}\bigg(1-e^2\frac{N}{N+alt}\bigg)^{-1}\bigg]$$ $$p=\sqrt{x^2+y^2}$$ 一开始lon是未知的，可以假设为0，经过几次迭代之后就能收敛

ECEF坐标系转enu坐标系

用户所在坐标点$P_0=(x_0,y_0,z_0)$,，计算点$P=(x,y,z)$在以点$P_{0}$为坐标原点的enu坐标系位置$(e,n,u)$这里需要用到LLA坐标系的数据，$P_0$的LLA坐标点为$LLA_0=(lon_0,lat_0,alt_0)$

$$ \begin{gathered} \left[ \begin{array}{ccc} \Delta{x}\\Delta{y}\\Delta{z} \end{array} \right]= \left[ \begin{array}{ccc} x\y\z\end{array}\right]- \left[ \begin{array}{ccc} x_0\y_0\z_0\end{array}\right] \end{gathered} $$

$$ \begin{gathered} \left[ \begin{array}{ccc} e\n\u \end{array} \right]=S\cdot \left[ \begin{array}{ccc} \Delta{x}\\Delta{y}\\Delta{z} \end{array} \right] \end{gathered}= \left[ \begin{array}{ccc} -sin(lon_0) & cos(lon_0) & 0 \ -sin(lat_0)cos(lon_0) & -sin(lat_0)sin(lon_0) & cos(lat_0) \ cos(lat_0)cos(lon_0) & cos(lat_0)sin(lon_0) & sin(lat_0) \end{array} \right]\cdot \left[ \begin{array}{ccc} \Delta{x}\\Delta{y}\\Delta{z} \end{array} \right] $$

即坐标变换矩阵$S=\left[ \begin{array}{ccc} -sin(lon_0) & cos(lon_0) & 0 \ -sin(lat_0)cos(lon_0) & -sin(lat_0)sin(lon_0) & cos(lat_0) \ cos(lat_0)cos(lon_0) & cos(lat_0)sin(lon_0) & sin(lat_0) \end{array} \right]$

enu坐标系转ECEF坐标系

$S$为单位正交矩阵 $$\mathbf{S}^{-1}=\mathbf{S}^\mathrm{T}$$ 反之 $$ \begin{gathered} \left[ \begin{array}{ccc} \Delta{x}\\Delta{y}\\Delta{z}\end{array} \right]=S^{-1}\cdot\left[ \begin{array}{ccc} e\n\u\end{array} \right]= \mathbf{S}^\mathrm{T}\cdot\left[ \begin{array}{ccc} e\n\u\end{array} \right] \end{gathered} $$

LLA坐标系转enu坐标系

上述可以看到，从LLA坐标系转换到enu坐标系有较多计算量，在考虑地球偏心率$e$很小的前提下，可以做一定的近似公式计算

$$ \left[ \begin{array}{ccc} \Delta e\ \Delta n \ \Delta u \end{array} \right]= \left[\begin{array}{ccc} a\cdot cos(lat)\cdot \Delta lon & 0 & 0 \ 0 & a \cdot \Delta lat & 0 \ 0 & 0 & \Delta alt \end{array}

\right] $$