GNSS 坐标转换

GNSS计算主要涉及三个坐标系，地心地固坐标系，地理坐标系和站心坐标系。这里主要介绍一下三个坐标的含义和转换公式。

地心地固坐标系如图X,Y,Z表示 (ECEF坐标系)，以地心O为坐标原点，Z轴指向协议地球北极，X轴指向参考子午面与地球赤道的交点，也叫地球坐标系。一般GNSS坐标计算都在地心地固坐标系下进行的。由于地球是椭圆形，有WGS-84和CGC2000等多种标准

地理坐标系则通过经度(longitude)，纬度(latitude)和高度(altitude)来表示地球的位置，也叫经纬高坐标系(LLA坐标系)。

站心坐标系以用户所在位置P为坐标原点，三个轴分别指向东向，北向和天向，也叫东北天坐标系(enu坐标系)。站心坐标系的天向方向和地理坐标系的高度方向是一致的。站心坐标系用在惯性导航和卫星俯仰角计算中较多。

参数

WGS-84

CGC200

基准椭球体的长半径a

6378137.0 m

6378137.0 m

基准椭球体的极扁率f

1/298.257223565

1/298.257223563

地球自转角速度We

7.2921151467*1e-5

7.2921151467*1e-5

地球引力和地球质量的乘积GM

3986004.418*1e8

3986004.418*1e8

光速

2.99792458*1e8 m/s

2.99792458*1e8 m/s

LLA坐标系转ECEF坐标系

LLA坐标系下的(lon,lat,alt)转换为ECEF坐标系下点(X,Y,Z)

\[\begin{cases}

X=(N+alt)cos(lat)cos(lon)\\

Y=(N+alt)cos(lat)sin(lon)\\

Z=(N(1-e^2)+alt)sin(lat)

\end{cases}\]

其中e为椭球偏心率，N为基准椭球体的曲率半径

\[\begin{cases}

e^2=\frac{a^2-b^2}{a^2}\\

N=\frac{a}{\sqrt{1-e^2sin^2lat}}

\end{cases}\]

由于WGS-84下极扁率\(f=\frac{a-b}{a}\),偏心率e和极扁率f之间的关系：

\[e^2=f(2-f)

\]

坐标转换公式也可以为

\[\begin{cases}

X=(N+alt)cos(lat)cos(lon)\\

Y=(N+alt)cos(lat)sin(lon)\\

Z=(N(1-f)^2+alt)sin(lat)

\end{cases}\]

\[N=\frac{a}{\sqrt{1-f(2-f)sin^2lat}}

\]

python实现

def lla2ecef(lat,lon,alt):

WGS84_A = 6378137.0

WGS84_f = 1/298.257223565

WGS84_E2 = WGS84_f*(2-WGS84_f)

deg2rad = math.pi/180.0

rad2deg = 180.0/math.pi

lat *= deg2rad

lon *= deg2rad

N = WGS84_A/(math.sqrt(1-WGS84_E2*math.sin(lat)*math.sin(lat)))

x = (N+alt)*math.cos(lat)*math.cos(lon)

y = (N+alt)*math.cos(lat)*math.sin(lon)

z = (N*(1-WGS84_f)*(1-WGS84_f)+alt)*math.sin(lat)

return [x,y,z]

ECEF坐标系转LLA坐标系

ECEF坐标系下点(X,Y,Z)转换为LLA坐标系下的(lon,lat,alt)

\[lon=arctan(\frac{y}{x})

\]

\[alt=\frac{p}{cos(lat)-N}

\]

\[lat=arctan\bigg[\frac{z}{p}\bigg(1-e^2\frac{N}{N+alt}\bigg)^{-1}\bigg]

\]

\[p=\sqrt{x^2+y^2}

\]

一开始lon是未知的，可以假设为0，经过几次迭代之后就能收敛

ECEF坐标系转enu坐标系

用户所在坐标点\(P_0=(x_0,y_0,z_0)\),，计算点\(P=(x,y,z)\)在以点\(P_{0}\)为坐标原点的enu坐标系位置\((e,n,u)\)这里需要用到LLA坐标系的数据，\(P_0\)的LLA坐标点为\(LLA_0=(lon_0,lat_0,alt_0)\)

\[\begin{gathered}

\left[ \begin{array}{ccc}

\Delta{x}\\\Delta{y}\\\Delta{z}

\end{array}

\right]=

\left[ \begin{array}{ccc}

x\\y\\z\end{array}\right]-

\left[ \begin{array}{ccc}

x_0\\y_0\\z_0\end{array}\right]

\end{gathered}

\]

\[\begin{gathered}

\left[ \begin{array}{ccc}

e\\n\\u

\end{array}

\right]=S\cdot

\left[ \begin{array}{ccc}

\Delta{x}\\\Delta{y}\\\Delta{z}

\end{array}

\right]

\end{gathered}=

\left[ \begin{array}{ccc}

-sin(lon_0) & cos(lon_0) & 0 \\

-sin(lat_0)cos(lon_0) & -sin(lat_0)sin(lon_0) & cos(lat_0) \\

cos(lat_0)cos(lon_0) & cos(lat_0)sin(lon_0) & sin(lat_0)

\end{array} \right]\cdot

\left[ \begin{array}{ccc}

\Delta{x}\\\Delta{y}\\\Delta{z}

\end{array}

\right]

\]

即坐标变换矩阵\(S=\left[ \begin{array}{ccc}

-sin(lon_0) & cos(lon_0) & 0 \\

-sin(lat_0)cos(lon_0) & -sin(lat_0)sin(lon_0) & cos(lat_0) \\

cos(lat_0)cos(lon_0) & cos(lat_0)sin(lon_0) & sin(lat_0)

\end{array} \right]\)

enu坐标系转ECEF坐标系

\(S\)为单位正交矩阵

\[\mathbf{S}^{-1}=\mathbf{S}^\mathrm{T}

\]

反之

\[\begin{gathered}

\left[ \begin{array}{ccc}

\Delta{x}\\\Delta{y}\\\Delta{z}\end{array}

\right]=S^{-1}\cdot\left[ \begin{array}{ccc}

e\\n\\u\end{array} \right]=

\mathbf{S}^\mathrm{T}\cdot\left[ \begin{array}{ccc}

e\\n\\u\end{array} \right]

\end{gathered}

\]

LLA坐标系转enu坐标系

上述可以看到，从LLA坐标系转换到enu坐标系有较多计算量，在考虑地球偏心率\(e\)很小的前提下，可以做一定的近似公式计算

\[\left[ \begin{array}{ccc}

\Delta e\\ \Delta n \\ \Delta u

\end{array}

\right]=

\left[\begin{array}{ccc}

a\cdot cos(lat)\cdot \Delta lon & 0 & 0 \\

0 & a \cdot \Delta lat & 0 \\

0 & 0 & \Delta alt

\end{array}

\right]

\]