希尔伯特变换_学习笔记1-傅里叶变换1

最终目标是解微分方程。第一章首先介绍了一般意义下的傅里叶变换，之后逐渐将傅里叶变换的概念抽象化，将变换的定义域进行拓展。最后少量介绍傅里叶变换在偏微分方程中的应用。习题解答是自己写的，有的不会，有的不知道对不对。

傅里叶变换是解偏微分方程的有力工具，因为它就像拉普拉斯变换一样，可以将微分方程转变为代数方程。通常的傅里叶变换由

定义，而这种方法只对性质非常好的函数有效，一旦

的定积分不存在，那么傅里叶变换将无法定义，这在使用上会带来很大不便。一种眼见可行的方法是用性质好的函数来逼近原函数，例如对于函数

，我们可以将

的极限视为其傅里叶变换，此时我们可以计算出

然而，逼近的思想同时面临着两个问题，其一是收敛函数列的傅里叶变换不一定收敛，这就导致类似于

这样的简单函数无法计算傅里叶变换（并且我们都知道，它的傅里叶变换是

），其二则更严重，就连那些可以收敛的函数列，也有可能仅仅改变了极限的路径而收敛于不同的结果，这就导致傅里叶变换本身是定义不良好的。

这个问题最终的解决办法，是将一部分性质极其好的函数作为测试函数，之后用傅里叶变换与内积所满足的性质反向地公理化定义傅里叶变换，并筛选出可以进行傅里叶变换的函数。这个函数空间叫作广义缓增函数空间，而测试函数所构成的空间叫作急降函数空间。广义缓增函数空间包含了所有在无穷远处以多项式速度增长的函数，而且甚至还包含了一些一般意义上根本不是函数的“函数”。狄拉克

函数就是其中的一个例子。

第一节，

中的傅里叶变换

定义1.1，对于

，定义

，其中

定理1.1，设

，那么以下分别成立：

1，

2，

连续，因此若

，那么

3，

4，记

则

5，

6，记

则

7，设

，那么

8，

命题1.1，记

为

的第

元素，如果

，那么

定义1.2，设

，称函数

在

中对

可微，当存在

使得

定理1.2，设

，

是

对

的微分，那么有

命题1.2，设

，那么

进一步，如果

在

处连续，那么

如果

，那么

几乎处处成立

第二节，

中的傅里叶变换

假定

在

中稠密

定理1.3，设

，那么

并且

因此，傅里叶变换在

内可以定义为

内傅里叶变换的极限

定理1.4，傅里叶变换是

内的酉算子，意即它是等距的满射

定理1.5，对于

，记

表示傅里叶变换，则

第三节，缓增广义函数

对于

和函数

，记

记

定义1.3，设

，如果对于任意

都有

，则称

定理1.6，傅里叶变换是

的自同构

定义1.4，称

定义了一个缓增广义函数，当它是线性并且连续的，意即：

1，

2，如果

，那么

记所有缓增广义函数的集合为

对于任意有界函数

，

显然定义了一个缓增广义函数。用同样的方法，可以得出

定义1.5，对于

，定义

为满足

的缓增广义函数，此时对于

有

成立

定义1.6，设

，如果对于任意

都有

，则称

定理1.7，傅里叶变换是

的自同构

定义1.7，设

，记其希尔伯特变换

为

此时有

成立，希尔伯特变换可以扩张为

的自同构，并且

，

命题1.3，对于

与

，记

，则有

并且

，其中

表示满足

的广义函数

证明、例题

例1.1，对于

，计算

的傅里叶变换

不失一般性令

，否则可以作变量代换令

进行归约。则有：

因此

例1.2，计算

的傅里叶变换

对于

，已知

因此，

命题1.2证明：
设

，则在

中有

，此处应用

定理1.1(6)与例1.1

，再应用定理

1.1(8)

如果

，那么根据勒贝格收敛定理，

在

内成立，并且如果

在点

连续则

定理1.3证明
设

，记

则

，因此

并且

（证明见

习题1.7）
由于

所以

因此

（见

习题1.7）
因此，根据定理1.2，

同时，

例1.3，计算

的傅里叶变换

虽然

，但是

可以用有界区间上的定积分逼近得到，计算可得

例1.4，设

，证明

其中

，因此

例1.5，计算

的傅里叶变换

因此，

习题1.1

(i)

，计算

的傅里叶变换。提示：

（例1.1）

(ii)

，计算

的傅里叶变换

已知

，对

求导并代入

得

因此

习题1.2

(i)证明在

内

，其中

定义为实部非负的一支

当

的实部大于

时

傅里叶变换有定义，此时

，因此

因此即使

的实部为

上式仍然成立

习题1.3

证明Young不等式：令

，

，则

因此

习题1.4

证明Minkowski不等式：

用

逼近

，则有：

习题1.5，令

，

(i)证明哈代不等式：

令

则

(ii)证明等号成立且仅成立于

，并证明原式中的系数

最优

不会

习题1.6，视傅里叶变换为

的映射

(i)证明其是单射

根据命题1.2作逆变换直接得到结论

(ii)证明傅里叶变换的像对乘法封闭

根据傅里叶变换对卷积的性质直接得到结论

(iii)证明

，其中

表示连续并且在无穷远处趋于

的函数

一维的时候，

就是反例，它虽然是

的元素，但是它的逆变换不是

的元素

高维的时候，令

即可

习题1.7

(i)证明定理1.1中公式的一般化：如果

，

，其中

，那么

，因此其傅里叶变换由

定义

(ii)对于

与

，

；对于

或

则如何？

对于前者，只需证明

趋于

就足够

由于

在

中的稠密性，取

满足

，则有

由于

在紧致集上连续，所以可以取足够小的

使得

，其中

是

的支撑集，此时

综上连续性得证

对于后者，

因此，可以取到足够大的

使得

的话不知道

(iii)设

，

在

点连续并且

，证明

根据命题1.2，

因为

单调收敛于

，所以

Felipe Linares, Gustavo Ponce (auth.) - Introduction to Nonlinear Dispersive Equations (2015, Springer-Verlag New York)