欧几里得算法(即辗转相除法)的时间复杂度

本文是参考新浪博客而写。
欧几里得算法, 又称辗转相除法, 用于求两个自然数的最大公约数. 算法的思想很简单, 基于下面的数论等式
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
其中gcd(a, b)表示a和b的最大公约数, mod是模运算, 即求a除以b的余数. 代码如下:

#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;int gcd1(int a,int b)//递归版本
{if (a<b){int temp=a;a=b;b=temp;}if (b==0){return a;}else{return gcd1(b,a%b);}
}
int gcd2(int a,int b)//循环版本
{if (a<b){int temp=a;a=b;b=temp;}while ( b!=0){int c=a%b;a=b;b=c;}return a;
}
int main()
{int a,b;cout<<"请输入两个正数："<<endl;cin>>a>>b;cout<<a<<"与"<<b<<"的最大公约数是:"<<gcd2(a,b)<<endl;//cout<<a<<"与"<<b<<"的最大公约数是:"<<gcd1(a,b)<<endl;}

欧几里得算法是最古老而经典的算法, 理解和掌握这一算法并不难, 但要分析它的时间复杂度却并不容易. 我们先不考虑模运算本身的时间复杂度(算术运算的时间复杂度在Knuth的TAOCP中有详细的讨论), 我们只考虑这样的问题: 欧几里得算法在最坏情况下所需的模运算次数和输入的a和b的大小有怎样的关系?
我们不妨设a>b≥1a>b\ge1, 构造数列{un}:\{u_n\}:

u0=a,u1=b,...,uk=uk−2moduk−1(k≥2),

u_0=a, u_1=b, ...,u_k=u_{k-2}mod u_{k-1}(k\ge2),
显然, 若算法需要n次模运算, 则有 un=gcd(a,b),un+1=0u_n=gcd(a, b), u_{n+1}=0. 我们比较数列 {un}\{u_n\}和菲波那契数列 {Fn},\{Fn\},

un≥1=F0un−1≥1=F1

u_n\ge 1=F_0\\ u_{n-1}\ge 1=F_1\\ 又因为由 ukmoduk+1=uk+2,u_k mod u_{k+1}=u_{k+2}, 可得 uk=uk+1×β+uk+2≥uk+1+uk+2u_k=u_{k+1}\times \beta+u_{k+2} \ge u_{k+1}+u_{k+2},故可得

un−2≥un−1+un≥F0+F1=F2

u_{n-2}\ge u_{n-1}+u_{n}\ge F_0+F_1=F_2 ,以此类推，由数学归纳法容易得到

un−k≥Fk,

u_{n-k}\ge F_k, 也就是

uk≥Fn−k

u_k\ge F_{n-k}于是得到 a=u0≥Fn,b=u1≥Fn−1a=u_0\ge F_n, b=u_1\ge F_{n-1}. 也就是说如果欧几里得算法需要做n次模运算, 则b必定不小于 Fn−1F_{n-1}. 根据斐波那契数列的性质, 有

Fn−1>(1.618)n5√

F_{n-1}\gt {(1.618)^n\over \sqrt{5}}, 即 b>(1.618)n5√b\gt {(1.618)^n\over \sqrt{5}}, 所以模运算的次数为 O(lgb)O(lgb).

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