【离散数学中的数据结构与算法】二 欧几里得算法与裴蜀等式
欧几里得算法是计算两个数最大公因子算法。又称辗转相除法。本文将学习为什么辗转相除法可以求得两个数的最大公因子。同时也可以根据最大公因子计算两个数的最小公倍数。
文章目录
- 1 欧几里得算法的理论基础
- 1.1 欧几里得算法(辗转相除法)
- 2 裴蜀等式(贝祖等式)
1 欧几里得算法的理论基础
设 a=qb+r, 其中 a, b, q, r 都是整数, 则
- GCD(a, b) = GCD(b, r)
证明过程如下:
1.1 欧几里得算法(辗转相除法)
- 欧几里得算法(辗转相除法) GCD ( a, b )
- 输入: 整数 a, b , 满足 a >= b >= 0 , 且 a, b 不全为0
- 输出: GCD(a, b)
由上面欧几里得算法的理论基础知:GCD(a, b) = GCD(b, r)
则,欧几里得算法的步骤如下:
可以由欧几里得算法计算两个数的最大公约数后,根据
GCD(a,b)*LCM(a,b)=a*b
计算最小公倍数。
2 裴蜀等式(贝祖等式)
- 对于不全为0的整数 a, b 和 d , 方程 sa+tb=d存在整数解 s 和 t 当且仅当 GCD(a, b)|d 。
- 方程 sa+tb=d 称作裴蜀(Bezout) 等式或贝祖等式。
证明:
- 充分性证明:sa+tb=GCD(a, b)可定是存在整数解的,设为
s0、 t0
。若d=kGCD(a, b)=k(sa+tb),则k*s0, k*t0
是方程的一个解。 - 必要性证明:若方程 sa+tb=d 存在整数解 s 和 t 则GCD(a, b) | (sa+tb)=d
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