java实现rsa欧几里得算法求d_RSA算法中利用欧几里得算法求d详细过程

文章转自新浪博客@任家

正文：

RSA是第一个也是使用的最广泛的公钥加密算法，在1978年由R.Rivest、AdiShamir和Adleman三人发明，

并以他们的名字命名。RSA算法的安全性基于大数因子分解的困难性，下面介绍一下它的基本原理：

1、生成公钥和私钥

(1)选取两个大素数：p和q；

(2)计算n=p*q；

(3)计算小于n并且与n互质的整数的个数，即欧拉函数Ø(n)=(p-1)*(q-1)；

(4)随机选择加密密钥e，使1

(5)最后，利用Euclid(欧几里得)算法计算解密密钥d，使其满足ed=1(mod Ø(n))。

然后将(e，n)公开，即为公钥PK，私人保存好d，即为私钥SK；

2、加密

将明文m分解成等长数据块m1，m2，……，mi。加密时，按如下公式进行计算即可：

ci=(mi)ˆe(mod n)，密文c则由c1，c2，……ci组成。

3、解密

与加密一样，按如下公式进行计算：

mi=(ci)ˆd(mod n)，明文m则由m1，m2，……，mi组成。

以上就是RSA算法的公私钥产生、加密和解密的过程。整个过程中，最难理解的部分应是1.5中的求私钥d，

很多课本提到的都是用欧几里得算法，但并未给出具体的计算过程

下面本人就通过一个实例向大家介绍欧几里得算法在RSA中的应用。

例：令p=47，q=71，求用RSA算法加密的公钥和私钥。

计算如下：

(1)n=pq=47*71=3337；

(2)Ø(n)=(p-1)*(q-1)=46*70=3220；

(3)随机选取e=79(满足与3220互质的条件)；

(4)则私钥d应该满足：79*d mod 3220 = 1；

那么这个式子(4)如何解呢？这里就要用到欧几里得算法(又称辗转相除法)，解法如下：

(a)式子(4)可以表示成79*d-3220*k=1(其中k为正整数)；

(b)将3220对79取模得到的余数60代替3220，则变为79*d-60*k=1；

(c)同理，将79对60取模得到的余数19代替79，则变为19*d-60*k=1；

(d)同理，将60对19取模得到的余数3代替60，则变为19*d-3*k=1；

(e)同理，将19对3取模得到的余数1代替19，则变为d-3*k=1；

当d的系数最后化为1时，(注：当k的系数先化为1时，令d=1，再带入)

令k=0，代入(e)式中，得d=1；

将d=1代入(d)式，得k=6；

将k=6代入(c)式，得d=19；

将d=19代入(b)式，得k=25；

将k=25代入(a)式，得d=1019，这个值即我们要求的私钥d的最终值。

此时，我们即可得到公钥PK=(e，n)={79，3337}，私钥SK={1019，3337}

后面的加密和解密直接套相应公式即可。

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