正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4718

题目大意

给出一个数nnn，如果它是质数则输出PrimePrimePrime，否则输出它的最大质因子。

解题思路

Pollard-Rho\text{Pollard-Rho}Pollard-Rho算法的前置知识是Miller-Rabin\text{Miller-Rabin}Miller-Rabin。在使用Miller-Rabin\text{Miller-Rabin}Miller-Rabin判掉质数之后，Pollard-Rho\text{Pollard-Rho}Pollard-Rho使用基于随机的思想能够较快的求出一个大数的因子之一。

朴素的随机算法就是随机一个数判断它是不是因子，我们先使用一个较为优秀的随机方式，f(x)=f(x−1)2+cf(x)=f(x-1)^2+cf(x)=f(x−1)2+c（其中ccc为一个常数）。

然后我们利用在这个函数上“跑”的距离来判断，也就是每次拿某两个i,ji,ji,j，判断∣f(i)−f(j)∣|f(i)-f(j)|∣f(i)−f(j)∣是否为它的因数。

但是如果枚举的话fff函数上会出现一些“环”，我们需要快速的判掉“环”的方法。每次拿s,ts,ts,t，令t=2st=2st=2s，若环长为ccc，那么有f(x)=f(x+c)f(x)=f(x+c)f(x)=f(x+c)，当某一时刻f(t)=f(s)f(t)=f(s)f(t)=f(s)那么环长一定是sss的整数倍。

然后判到环就退出，如果没有找到就换一个常数重新做，这样的我们的算法雏形就形成了。

但是这样还是跑的很慢，发现我们在过程中大量调用了gcd(d,p)gcd(d,p)gcd(d,p)导致时间变慢。考虑优化，我们可以每次先做一堆，然后在把这一堆拿过去一起搞定。首先我们有gcd(ac,b)=gcd(a,b)gcd(ac,b)=gcd(a,b)gcd(ac,b)=gcd(a,b)，然后根据gcdgcdgcd的原理，我们有gcd(a,b)=gcd(a%b,b)gcd(a,b)=gcd(a\% b,b)gcd(a,b)=gcd(a%b,b)那么也就是我们有gcd(a,b)=gcd(ac%b,b)gcd(a,b)=gcd(ac\%b,b)gcd(a,b)=gcd(ac%b,b)。

那么假设我们有若干个间隔a1,a2,a3,...a_1,a_2,a_3,...a1,a2,a3,...那么我们把这数乘起来模ppp，然后把得到的结果kkk与ppp取gcdgcdgcd就等价于拿aaa中逐个取与ppp取gcdgcdgcd。

所以我们的优化方法就是第iii次拿2i2^i2i个间隔去一起与ppp判断，但是因为iii后面会很大导致副作用，所以将iii设一个上界888即可。
时间复杂度期望是O(n2.5)O(n^{2.5})O(n2.5)，但跑的飞快

回到这题来，我们先对nnn用MR\text{MR}MR判断一次质数，然后跑Pr\text{Pr}Pr弄出一个因子ddd，之后将nnn的因子ddd都去光后分别把nnn和ddd丢下去递归继续跑。可以记录一个目前最大质因子来剪去一些不优状态。

codecodecode

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#define ll long long
using namespace std;
const ll pri[10]={2,3,5,7,11,13,17,19,23,27};
ll T,n,ans;
ll ksc(ll a,ll b,ll p){ll c=(long double)a*b/p;long double ans=a*b-c*p;if(ans<0)ans+=p;else if(ans>=p)ans-=p;return ans;
}
ll power(ll x,ll b,ll p){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ksc(ans,x,p);x=ksc(x,x,p);b>>=1;}return ans;
}
bool Mr(ll p){if(p==2)return 1;if(p<2||!(p&1))return 0;ll t=p-1,s=0;while(!(t&1))t>>=1,s++;for(ll i=0;i<10&&pri[i]<p;i++){ll x=power(pri[i],t,p),k;for(ll j=0;j<s;j++){k=ksc(x,x,p);if(k==1&&x!=1&&x!=p-1)return 0;x=k;}if(x!=1)return 0;}return 1;
}
ll gcd(ll a,ll b)
{return (!b)?a:gcd(b,a%b);}
ll Pr(ll p){ll s=0,t=0,c=1ll*rand()%(p-1)+1;for(ll g=1,val=1,d;;g<<=1,s=t,val=1){for(ll j=0;j<g;j++){t=(ksc(t,t,p)+c)%p;val=ksc(val,abs(t-s),p);if(j%127==0&&(d=gcd(p,val))>1)return d;}d=gcd(p,val);if(d>1)return d;}return p;
}
void solve(ll n){if(n<ans||n<2)return;if(Mr(n)){ans=n;return;}ll d=0;while((d=Pr(n))>=n);while(n%d==0)n/=d;solve(n);solve(d);return;
}
signed main()
{srand(998244353);scanf("%lld",&T);while(T--){scanf("%lld",&n);if(Mr(n)){printf("Prime\n");continue;}ans=0;solve(n);printf("%lld\n",ans);}return 0;
}

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