数学分析：秩定理，莫尔斯引理

我是这么理解秩定理的，对于一个映射，我们可以不断的寻找微分同胚来简化这个映射，如果它们已经是微分同胚，那么其实就是可以简化成一个恒等映射。如果做不到，那么我们可以找到这样一种情况，在前k个元素，都是恒等映射，后面都是0.

这个其实不那么好理解，如果在邻域内是满秩的，那么它的像肯定是内点。首先根据秩定理，上面的坐标形式可以是：

因为m>n，所以u0的邻域肯定比v0的邻域高维度，也就包含它。然后，微分同胚是把内点变换为内点，所以重新把f写成：

那么每一个变换，都是内点--->内点---->内点的形式。

这个要这么理解，对于函数f，如果它每个分量都是独立的，那么用一个F函数，带入它们等于=0，只有一种情况，就是F函数本身就是零函数。

这个引理的证明也非常困难。我们会发现经常用到二阶偏导数。

二阶偏导数的特点在于它的矩阵是对称的，实对称的矩阵是正定的，可以对角化，也就是可以化成标准型，或者叫可以正则化。二次型的正则化就是上面那个公式，只有每个元素自己的平方。

这个证明还挺有意思的，重点在于

$\int \frac{df(t))}{dt} dt = f(t)$

首先，二次型都可以和一个对称矩阵相互对应。变量代换，可以换成另一个二次型矩阵，但是保持非退化。同时，通过对称矩阵的对角化，可以把特征值的矩阵当成换元，所以可以直接假设二次型矩阵就是一个对角矩阵。

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