数电——逻辑函数的转化与化简

  • 1. 逻辑函数的形式变换
    • 1.1 与或式 转换成 与非-与非式。
    • 1.2 与或式 转换成 与或非式
    • 1.2 与或式 转换成 或非式
  • 2. 逻辑函数的化简方法
    • 2.1. 公式法化简
      • 2.1.1 最简与或式
      • 2.1.2 最简或与式
    • 2.2. 卡诺图法
      • 2.2.1 定义与优点
      • 2.2.2 步骤方法
        • 2.2.2.1 画出卡诺图
        • 2.2.2.2 化成与或式——圈一化简
          • 规则：
          • 例子
        • 2.2.2.3 化成或与式——圈零化简
          • 规则：
          • 例子
  • 3. 具有无关项的逻辑函数机器化简
    • 3.1 约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项
      • 3.2 应用
  • 4. 卡诺图的其他应用
    • 4.1 判断函数关系和进行函数运算
    • 4.2 逻辑函数表达式类型的转换

1. 逻辑函数的形式变换

除了标准得与或式和或与式之外，还需要将逻辑函数转换为其他形式。
（虽然这样子会写，但是不知道题目会不会，需要练一练，而且没看到本质）

1.1 与或式 转换成 与非-与非式。

方法技巧：用二次求反，引入反演律

例子：将y=AC+BC′y=AC+BC'y=AC+BC′用与非门实现：
y=AC+BC′=((AC+BC′)′)′=((AC)′(BC′)′)′y=AC+BC'=((AC+BC')')'=((AC)'(BC')')'y=AC+BC′=((AC+BC′)′)′=((AC)′(BC′)′)′


备注：因为没有反变量输入，所以借助非门

1.2 与或式 转换成 与或非式

方法技巧：采用反演定律求出反函数，再整理成与或式，在对两边同时取非

例子：将y=AC+BC′y=AC+BC'y=AC+BC′用与或非门实现：
y′=(A′+C′)(B′+C)=A′B′+B′C′+A′Cy'=(A'+C')(B'+C)=A'B'+B'C'+A'Cy′=(A′+C′)(B′+C)=A′B′+B′C′+A′C
利用常用公式2的第一个可以删去第一项
y′=(A′+C′)(B′+C)=B′C′+A′Cy'=(A'+C')(B'+C)=B'C'+A'Cy′=(A′+C′)(B′+C)=B′C′+A′C
y=(B′C′+A′C)′y=(B'C'+A'C)'y=(B′C′+A′C)′

1.2 与或式 转换成 或非式

方法技巧：

  1. 先将函数Y化为与或非形式，再用反演定理求Y’ ，并用摩根定理展开，再求Y，就可得到或非－或非式
    反演定理，可以将 与或 变成 或与
    反演律：可以实现 与 或 两者的互换
    例子：将y=AC+BC′y=AC+BC'y=AC+BC′用或非门实现：
    y′=(A′+C′)(B′+C)=A′B′+B′C′+A′Cy'=(A'+C')(B'+C)=A'B'+B'C'+A'Cy′=(A′+C′)(B′+C)=A′B′+B′C′+A′C
    利用常用公式2的第一个可以删去第一项
    y′=(A′+C′)(B′+C)=B′C′+A′Cy'=(A'+C')(B'+C)=B'C'+A'Cy′=(A′+C′)(B′+C)=B′C′+A′C
    y=(B′C′+A′C)′y=(B'C'+A'C)'y=(B′C′+A′C)′
  2. 先写出最大项之积的形式，再两次取反，利用反演定律得到或非式

2. 逻辑函数的化简方法

  1. 化简的好处：实现的电路简单可靠，成本低（虽然随着集成电路的发展，集成芯片的种类越爱越多，逻辑函数的最贱已经没有太大的意义，但作为设计思路，特别是中小规模的集成电路，逻辑函数的简化不能忽略）
  2. 需要考虑电路器件的种类，常用的门有与非门，或非门，与或非门。所以常常化简成最简与或式和最简或与式

2.1. 公式法化简

2.1.1 最简与或式

定义：所含的与项最少，每个与项的逻辑变量最少
与或式的化简方法：

  1. 合并项法：利用AB+A′B=BAB+A'B=BAB+A′B=B消去一个变量
  2. 消除法：利用A+A′B=A+BA+A'B=A+BA+A′B=A+B消去多余变量
  3. 配项法：利用A+A′=1A+A'=1A+A′=1增加一些项，再进行化简

2.1.2 最简或与式

定义：所含的和项最少，每个和项的逻辑变量最少
与或式的化简方法：

  1. 利用A(A+B)=A以及A(A′+B)=ABA(A+B)=A以及A(A'+B)=ABA(A+B)=A以及A(A′+B)=AB
  2. 利用两次求对偶式子进行简化

公式法太考验技巧了，所以不细讲，我们把重点放在了卡诺图

2.2. 卡诺图法

2.2.1 定义与优点

  • 定义：把真值表中的变量分成两组分别排列在行和列的方格中，就构成二维图表，即为卡诺图，由卡诺（Karnaugh）和范奇（Veich）提出
  • 构成：将最小项按相邻性排列成矩阵，就构成卡诺图，实质是将逻辑函数的最小项之和以图形的方式表示出来。最小项相邻性就是它们中变量只有一个是不同的
  • 优点：直观，方便简化

2.2.2 步骤方法

  1. 画出卡诺图
  2. 圈一化简

2.2.2.1 画出卡诺图

  1. 看有几个变量，将变量分成尽可能数量接近的两组（个人理解是比较接近于方形，后面圈一看起来方便）
  2. 分别写出横排和竖排的序号（为了保证相邻的两个式子只有一个变量不同，所以利用格雷码的原则写出）

看两个例子：


3. 填一
可以直接惯出逻辑函数或是根据真值表，把对应的1填入，觉得没必要化成最小项和的形式

2.2.2.2 化成与或式——圈一化简

规则：
  1. 圈住相邻的2n个1
  2. 可以重复圈，但每圈一次必须包含没有圈过的，所有的1都必须圈住
  3. 圈住的1必须尽可能多，而且必须相邻（相邻的定义包括最左最右相邻，最上最下相邻）
  4. 2n2^n2n个相邻元素可以消去nnn个变量，那些既有0又有1的变量可以消去
    5.每一块写成与或式， “1”写原变量，“0”写反变量

技巧：当1比较多的时候，有时通过合并卡诺图的“0”项得到反函数，再取反

例子

用卡诺图将 Y=ABC+ABD+AC′D+C′D′+AB′C+A′CD′Y=ABC+ABD+AC'D+C'D'+AB'C+A'CD'Y=ABC+ABD+AC′D+C′D′+AB′C+A′CD′最简与或式
方法一——圈“1”
画出卡诺图如下：

Y=A+D′Y=A+D'Y=A+D′
方法二——圈“0”取反

求Y′=A′DY' = A'DY′=A′D
反演定理得Y=A+D′Y=A+D'Y=A+D′

2.2.2.3 化成或与式——圈零化简

规则：
  1. 圈住相邻的2n个0
  2. 可以重复圈，但每圈一次必须包含没有圈过的，所有的0都必须圈住
  3. 圈住的0必须尽可能多，而且必须相邻（相邻的定义包括最左最右相邻，最上最下相邻）
  4. 2n2^n2n个相邻元素可以消去nnn个变量，那些既有0又有1的变量可以消去
  5. 每一块写成或与式，取0的写原变量，取1的写反变量
例子

用卡诺图将 Y=ABC+ABD+AC′D+C′D′+AB′C+A′CD′Y=ABC+ABD+AC'D+C'D'+AB'C+A'CD'Y=ABC+ABD+AC′D+C′D′+AB′C+A′CD′化成最贱或与式

方法一——圈“0”取反
Y=(A+B+C′)(A+B+D)(A′+B′+C)(A′+D′)Y=(A+B+C')(A+B+D)(A'+B'+C)(A'+D')Y=(A+B+C′)(A+B+D)(A′+B′+C)(A′+D′)
方法二——圈“1”取反

3. 具有无关项的逻辑函数机器化简

3.1 约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项

  1. 约束项：输入变量的取值不是任意的，受到限制，被约束的项叫做约束项。
  2. 任意项 ：输入变量的某些取值对电路的结果没有影响，这些项称为任意项
  3. 无关项：约束项和任意项统称为无关项

这些最小项是否写进卡诺图对逻辑函数没有影响

3.2 应用

在卡诺图中，将无关项用X表示，然后根据需要去0或1

4. 卡诺图的其他应用

4.1 判断函数关系和进行函数运算

  1. 判断关系：卡诺图相同则函数相同，01对调则函数互补
  2. 函数运算：直接利用卡诺图进行运算


4.2 逻辑函数表达式类型的转换

  1. 与或和或与前文已经给出
  2. 与或式 转 与或非式：画出卡诺图，圈零写出反函数的与或式，然后取反就是与或非
  3. 与或式 转 或非：写出卡诺图，圈零写出或与式，两次取反，利用摩根定律得到或非式

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