数字逻辑笔记7丨2.5逻辑函数卡诺图化简法

卡诺图的构成

1.卡诺图的构成

一种图形化简法，在逻辑设计中广泛应用
卡诺图：一种平面方格图，每个小方格代表一个最小项，又叫“最小项方格图”
卡诺图可以视为真值表图形化的结果
n个变量的真值表是用2的n次方行给出变量的2的n次方种取值，每行取值与一个最小项对应。

2.变量卡诺图举例

3.卡诺图特点

n个变量的卡诺图由2的n次方个小方格组成
几何图形上处在相邻、相对、相重位置的小方格代表的最小项为相邻的最小项
卡诺图最小项的排列方案不是唯一的，本文只介绍一种。

逻辑函数在卡诺图的表示

标准与-或表达式在卡诺图上的表示

 在卡诺图上找出和表达式中最小项对应的小方格填上1，其余小方格填上0

一般与或表达式的卡诺图：

运用配项法，将一般与或表达式转换为标准与或表达式
在卡诺图上找出和表达式中最小项对应的小方格填上1，其余小方格填上0
当逻辑函数为一般与或表达式时，可以根据‘与“的公共性（与项变量全为1）和”或“的叠加性（只要有1项为1，表达式为1）做出相应卡诺图

卡诺图上最小项的合并规律

合并的依据时并向定理
两个相邻最小项有一个变量互反，可以合并为一项，消去一个变量
卡诺图的重要特征：直观清晰反应了最小项的相邻关系

卡诺图化简逻辑函数的基本原理

将逻辑依据和图形特征结合起来
将卡诺图上表征相邻最小项的相邻小方格圈在一起进行合并
达到用一个简单与项代替若干最小项的目的
用来包围那些能由一个简单与项代替的若干最小项的圈称为卡诺圈

n个变量卡诺图中最小项的合并规律：

卡诺圈中小方块的个数必须是2的m次方个，m为小于等于n的整数
卡诺圈中的2的m次方个小方格中含有m个不同的变量，（n-m）个相同变量
卡诺圈中的2的m次方个小方格对应的最小项可用（n-m）个变量的与项表示，该与项由这些最小项中的相同变量构成
当m=n时，卡诺圈包围了整个卡诺圈，可用1表示，即n个变量的全部最小项之和是1

卡诺图化简逻辑函数的步骤

蕴涵项：”与-或表达式中，每个”与“项被称为该函数的蕴涵项

 在卡诺图中，任何一个1方格所对应的最小项或者卡诺圈中的2的m次方个1方格所对应的”与“项都是函数的蕴涵项

质蕴涵项：若函数的一个蕴涵项不是该函数中其他蕴涵项的子集，则此蕴涵项称为质蕴涵项，简称质项

在函数卡诺图中，按照最小项合并规律
如果某个卡诺圈不可能被其他更大的卡诺圈包含
该卡诺圈所对应的’与”项为质蕴涵项

必要质蕴涵项：若函数的一个质蕴涵项包含有不被函数的其他任何质蕴函项所包含的最小项，则此质蕴涵项被称为必要质蕴涵项，简称必要质项

在函数卡诺图中，若某个卡诺圈包含了不可能被其他任何卡诺圈包含的1方格，该卡诺圈所对应的与项为必要质蕴涵项

求逻辑函数最简与或表达式的一般步骤

做出函数的卡诺图
在卡诺图上圈出函数的全部质蕴涵项
从全部质蕴涵项中找出所有必要质蕴涵项

求函数的最简质蕴涵项集

 当函数的所有必要质蕴涵项尚不能覆盖卡诺图上的所有1方格时从剩余质蕴涵项中找出最简的所需质蕴涵项使它和必要质蕴涵项一起构成函数的最小覆盖

卡诺图化简原则

在覆盖函数中所有最小项前提下，卡诺圈的个数应达到最小
在满足合并规律的前提下卡诺圈应达到最大
根据合并的需要，每个最小项可以被多个卡诺圈包围

求逻辑函数最简或与表达式的一般步骤
两次取反法
情况一：当给定逻辑函数为与或表达式或标准与或表达式时：

作出函数F的卡诺图
合并卡诺图上的0方格，求出F的反函数的最简与或表达式
对F的反函数的最简与或表达式取反，得到函数F的最简或与表达式

情况二：当给定逻辑函数为或与表达式或标准或与表达式时

求出F的反函数，并作出F的反函数的卡诺图
合并卡诺图上的1方格，求出F的反函数的最简与或表达式
对F 的反函数的最简与或表达式取反，得到F的最简或与表达式

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