傅里叶变换、拉普拉斯、Z变换、离散傅里叶变换的关系

2024-05-15 08:36:24

本帖子为本人基于网络资源整理的笔记，很大部分来源于帖子：
傅里叶变换

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傅里叶变换

了解三种变换前我们先要简单的了解一下时域和频域的概念：

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什么是傅里叶变换

高等数学中一般是从周期函数的傅里叶级数开始介绍的，这里也不例外。简单的说，从高中我们就学过一个理想的波可以用三角函数来描述，但是实际上的波可以是各种奇形怪状的。首先我们来看具有固定周期的波，下图中展示了4种常见的周期波。傅里叶级数告诉我们，这些周期信号都可以分解为有限或无限个正弦波或余弦波的叠加，且这些波的频率都是原始信号频率fo的整数倍。

这里f0被称为这些波的基频，A0/2代表直流系数，系数An被称为幅度，ϕn被称作相位。根据幅度和相位可以利用反变换恢复信号的波形，因此幅度和相位包含了信号的全部信息。这里的幅度关于频率的函数，我们称之为频谱，相位关于频率的函数，称之为相位谱。

下图是矩形波分解为多个正弦波的示意图，随着正弦波数目的增加，可以无限地逼近矩形波。对于非周期信号，我们不能简单地将它展开为可数个正弦波的叠加，但是可以利用傅里叶变换展开为不可数的正弦波的叠加，其表达式可以通过f0→∞简单得到。

我们日常遇到的琴音、震动等都可以分解为正弦波的叠加，电路中的周期电压信号等信号都可以分解为正弦波的叠加。那么问题来了，为什么我们要将信号分解为正弦波的叠加呢？这里面包含两个问题，为什么要分解？为什么是正弦波（或余弦波），可不可以是其他的波？另一个问题是对通信的同学的，我们学过多个变换那么这些变换之间有哪些关系？在下面的篇章中，我将回答这三个问题。

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傅里叶变换、拉普拉斯、Z变换、离散傅里叶变换的关系

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信号处理中经常要对信号做各种变换，其中傅里叶变换、拉普拉斯、Z变换、离散傅里叶变换是最基础的几个变换。他们都是为了对信号做频谱分析而采用的变换，只不过被变换的信号会有一些差异。

从模拟信号x(t)开始，如果模型信号能量是有限的，那么我们可以对它做傅里叶变换，把它用频域表达为X(w)。如果信号的能量是无限的，那么傅里叶变换将不会收敛，这种时候可以对它做拉普拉斯变换X(s)。如果我们将拉普拉斯的s=σ+jw域画出来，他是一个复平面，拉普拉斯变换X(s)是这个复平面上的一个复变函数。而这个函数沿虚轴jw的值X(jw)就是傅里叶变换。

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三者之间的关系

上面说的三种变换都是讲原先在时域中表示的信号：

傅里叶变换只能对能量有限的信号进行变换（也就是可以收敛的信号），无法对能量无限的信号进行变换（无法收敛的信号）进行变换！

因此，拉氏变换由此诞生，他就是在傅里叶变换公式中乘以一个双肩因子，使得能量无限的信号也能进行时频变换！

Z变换就是离散化的拉氏变换！

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