图像傅里叶变换

二维离散傅里叶变换是将图像从空间域转至频域，在图像增强、图像去噪、图像边缘检测、图像特征提取、图像压缩等等应用中都起着极其重要的作用。理论基础是任意函数都可以表示成正弦函数的线性组合的形式。公式如下

逆变换公式如下

令 R(u,v) 和 I(u,c) 分别表示 F(u,v) 的实部和虚部。
幅度谱为

相位谱为

指数表示

功率谱为

示例演示

首先我们演示下，从一幅图像得到其的幅度谱和相位谱，然后再根据幅度谱和相位谱还原图像。代码如下。

void MainWindow::dftTransform(cv::Mat &image)
{image.convertTo(image, CV_32F);std::vector<cv::Mat> channels;split(image, channels);  //分离图像的RGB通道，cv::Mat image_B = channels[0]; //OpenCV:BGR//expand input image to optimal sizeint m1 = cv::getOptimalDFTSize(image_B.rows);  //选取最适合做fft的宽和高int n1 = cv::getOptimalDFTSize(image_B.cols);cv::Mat padded;//填充0cv::copyMakeBorder(image_B, padded, 0, m1 - image_B.rows, 0, n1 - image_B.cols, cv::BORDER_CONSTANT, cv::Scalar::all(0));cv::Mat planes[] = { cv::Mat_<float>(padded), cv::Mat::zeros(padded.size(), CV_32F) };cv::Mat complexI;cv::merge(planes, 2, complexI);  //planes[0], planes[1]是实部和虚部cv::dft(complexI, complexI, cv::DFT_SCALE | cv::DFT_COMPLEX_OUTPUT);cv::split(complexI, planes);//定义幅度谱和相位谱cv::Mat ph, mag, idft;cv::phase(planes[0], planes[1], ph);cv::magnitude(planes[0], planes[1], mag);  //由实部planes[0]和虚部planes[1]得到幅度谱mag和相位谱phcv::imshow("phase", ph);cv::imshow("magnitude", mag);/*如果需要对实部planes[0]和虚部planes[1]，或者幅度谱mag和相位谱ph进行操作，在这里进行更改*/cv::polarToCart(mag, ph, planes[0], planes[1]);  //由幅度谱mag和相位谱ph恢复实部planes[0]和虚部planes[1]cv::merge(planes, 2, idft);cv::dft(idft, idft, cv::DFT_INVERSE | cv::DFT_REAL_OUTPUT);image_B = idft(cv::Rect(0, 0, image.cols & -2, image.rows & -2));image_B.copyTo(channels[0]);merge(channels, image);image.convertTo(image, CV_8U);cv::imshow("idft", image);
}

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