如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积

证明

设整系数多项式 f(x)f(x)f(x) 有分解式
f(x)=g(x)h(x)f(x)=g(x)h(x) f(x)=g(x)h(x)
其中 g(x),h(x)g(x),h(x)g(x),h(x) 是有理系数多项式，且
∂(g(x))<∂(f(x)),∂(h(x))<∂(f(x)).\partial(g(x))<\partial(f(x)), \ \partial(h(x))<\partial(f(x)). ∂(g(x))<∂(f(x)), ∂(h(x))<∂(f(x)).
令
f(x)=af1(x),g(x)=rg1(x),h(x)=sh1(x)f(x)=af_1(x),g(x)=rg_1(x),h(x)=sh_1(x) f(x)=af1(x),g(x)=rg1(x),h(x)=sh1(x)
这里 f1(x),g1(x),h1(x)f_1(x),g_1(x),h_1(x)f1(x),g1(x),h1(x) 都是本原多项式，aaa 是整数，r,sr,sr,s 是有理数，于是
af1(x)=rsg1(x)h1(x)af_1(x)=rsg_1(x)h_1(x) af1(x)=rsg1(x)h1(x)
由高斯引理（两个本原多项式的乘积还是本原多项式），得 g1(x)h1(x)g_1(x)h_1(x)g1(x)h1(x) 是本原多项式，从而
rs=±ars=\pm a\rm rs=±a
这就是说，rsrsrs 是一整数.因此，我们有
f(x)=(rsg1(x))h1(x)f(x)=(rsg_1(x))h_1(x) f(x)=(rsg1(x))h1(x)
这里 rsg1(x)rsg_1(x)rsg1(x) 与 h1(x)h_1(x)h1(x) 都是整系数多项式，且次数都低于 f(x)f(x)f(x) 的次数

推论

设 f(x),g(x)f(x),g(x)f(x),g(x) 是整系数多项式，且 g(x)g_(x)g(x) 是本原的。如果 f(x)=g(x)h(x)f(x)=g(x)h(x)f(x)=g(x)h(x)，其中 h(x)h(x)h(x) 是有理系数多项式，那么 h(x)h(x)h(x) 一定是整系数的.

证明

令
f(x)=af1(x),h(x)=bh1(x)f(x)=af_1(x),h(x)=bh_1(x)f(x)=af1(x),h(x)=bh1(x)
这里 f1(x),h1(x)f_1(x),h_1(x)f1(x),h1(x) 都是本原多项式， aaa 是整数，bbb 是有理数
那么有：
af1(x)=bg(x)h1(x)af_1(x)=bg(x)h_1(x) af1(x)=bg(x)h1(x)
又因为 g(x)g(x)g(x) 也是本原多项式，所以 a=±ba=\pm ba=±b，bbb 也是整数。因此h(x)=bh1(x)h(x)=bh_1(x)h(x)=bh1(x) 也是整系数多项式

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