Hilbert变换简要剖析

2024-05-08 20:44:17

Hilbert变换简要剖析

实信号频谱的复共轭对称性
Hilbert变换
Hilbert变换的作用
利用Hilbert变换构造解析信号
为什么要构造解析信号？

实信号频谱的复共轭对称性

对于任意一个实信号而言，对它进行傅里叶变换，得到对应的频谱，那么它的频谱满足：
（1）幅度谱偶对称

（2）相位谱奇对称

利用正频率上的幅度谱和相位谱可表示出负频率上的频谱结构。时域形式可以写成：

Hilbert变换

定义希尔伯特变换如下：

希尔伯特变换从本质上来看是做了一次特殊的卷积积分，其中这个卷积的冲击响应为1/πt。
1/πt的傅里叶变换如下：

其中的sgn函数为符号函数，当sgn函数里面的自变量非负时取值为1，否则取值为-1.

Hilbert变换的作用

从上述Hilbert变换的定义可以看出，希尔伯特变换的作用上是一个90移相器，它将信号中的正频率部分相移-90°，相当于顺时针转90°；将信号中的负频率部分相移90°，相当于逆时针转90°。希尔伯特变换不会改变实信号x(t)的振幅和能量，仅仅在相位上发生了改变分而已。
举个简单的例子，在复数运算中常常用到的欧拉公式大家很熟悉，即

欧拉公式就是一个简单的希尔伯特变换的例子。其中cos(x)相移90
之后变成sin(x)。
由Hilbert变换的定义容易知道，当实信号连续作两次Hilbert变换之后，信号反相。

利用Hilbert变换构造解析信号

构造复信号（也称为解析信号）如下：

这个解析信号的频谱与原信号的频谱满足

观察可得，经过希尔伯特变换之后，原信号的负频率部分抵消了，只剩下正频率部分，而且幅度谱与原幅度谱只相差一个倍数；知道频谱信息之后，很容易解调出原信号。反映到时域上，示意图如下：

为什么要构造解析信号？

有读者可能会有这么一个疑问：为什么要构造解析信号呢？这个复信号构造出来有什么作用？
现实中不存在复信号，实际系统中常常把信号及其希尔伯特变换放在两个通路中（所谓的正交信道，I路和Q路信号）。我们知道，经过希尔伯特变换处理之后，复信号频谱只有正频率，且幅度谱与原信号幅度谱成线性关系。先把频率全部搬到正频率，然后经过低通滤波器之后，再搬移到低频段（基带信号）；如果不搬移到低频段的话，高频部分有与载波相乘的影响（例如在OFDM中存在很多子载波，这些子载波与原始信号相乘之后得到的信号不容易直接处理），不容易分析，构造解析信号可以解决这个问题。

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