matlab求解微积分

求导数
极限问题
- 1.单变量极限
- 2.多变量函数
求解积分问题
- 1.不定积分
- 2.定积分
- 3.二重积分
级数求和

求导数

如果函数和自变量已知，且均为符号变量，则可用diff函数解出给定函数的各阶导数
diff（f，“v”，n）其中v是自变量，f是表达式，求n阶导数
求y=sin⁡x的一阶导函数，和100阶导函数\text{求}y=\sin x\text{的一阶导函数，和}100\text{阶导函数} 求y=sinx的一阶导函数，和100阶导函数

syms x ;
y=sin(x)
diff1=diff(y)%求一阶导函数
diff100=diff(y,100)%求100阶导函数

求隐函数的偏导数：
已知隐函数的数学表达式为f(x1,x2,...xn)=0f\left( x_1,x_2,...x_n \right) =0f(x1,x2,...xn)=0根据偏导数的公式易知，xi对xj偏导数的定义为：x_i\text{对}x_j\text{偏导数的定义为：}xi对xj偏导数的定义为：
∂xi∂xj=−∂∂xjf(x1,x2,...xn)∂∂xif(x1,x2,...xn)\frac{\partial x_i}{\partial x_j}=-\frac{\frac{\partial}{\partial x_j}f\left( x_1,x_2,...x_n \right)}{\frac{\partial}{\partial x_i}f\left( x_1,x_2,...x_n \right)} ∂xj∂xi=−∂xi∂f(x1,x2,...xn)∂xj∂f(x1,x2,...xn)

例题1：已知z=f(x,y)由x2−y2+2z2=a2定义，求zx′,zy′已知z=f\left( x,y \right) \text{由}x^2-y^2+2z^2=a^2\text{定义，求}z_{x}^{'},z_{y}^{'}已知z=f(x,y)由x2−y2+2z2=a2定义，求zx′,zy′

syms z x y a;
f=x^2-y^2+2*z^2-a^2
zx=-diff(f,x)/diff(f,z)
zy=-diff(f,y)/diff(f,z)

例题2：二元函数f(x,y)=(x2+2x)e(x+y)2=0,求∂y∂x\text{二元函数}f\left( x,y \right) =\left( x^2+2x \right) e^{\left( x+y \right) ^2=0},\text{求}\frac{\partial y}{\partial x}二元函数f(x,y)=(x2+2x)e(x+y)2=0,求∂x∂y

syms x y ;
f=(x^2+2*x)*exp((x+y)^2)
-diff(f,x)/diff(f,y)

运行得到：
-(exp(-(x + y)^2)*(exp((x + y)^2)*(2*x + 2) + exp((x + y)^2)*(x^2 + 2*x)*(2*x + 2*y)))/((x^2 + 2*x)*(2*x + 2*y))

极限问题

1.单变量极限

limit（f,x,a,“right”）——求lim⁡x→af(x)\lim_{x\rightarrow a} f\left( x \right)limx→af(x)的右极限，不写默认求双侧极限，right改为left则求左侧极限：
例1：
lim⁡x→0(2020+5x)x−2020xx1+2sin⁡xln⁡(1+sin⁡x)\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\left( 2020+5x \right) ^x-2020^x}{x\sqrt{1+2\sin x\ln \left( 1+\sin x \right)}} x→0limx1+2sinxln(1+sinx)(2020+5x)x−2020x

syms x;
f=((2020+5*x)^x-2020^x)/(x*log(1+sin(x))*sqrt(1+2*sin(x)))
limit(f,x,0)

例：
lim⁡x→0+1−cos⁡xx(1−cos⁡x)\lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{1-\sqrt{\cos x}}{x\left( 1-\cos \sqrt{x} \right)} x→0+limx(1−cosx)1−cosx

syms x;
f=(1-sqrt(cos(x)))/(x*(1-cos(sqrt(x))))
limit(f,x,0,"right")

2.多变量函数

lim⁡x→x0y→y0f(x,y)\lim_{\begin{array}{c} x\rightarrow x_0\\ y\rightarrow y_0\\ \end{array}} f\left( x,y \right) x→x0y→y0limf(x,y)

可以使用limit的嵌套函数来实现：

limit(limit(f,x,x0),y,yo)

例：
lim⁡x→1yy→∞e−1y2−x2\lim_{\begin{array}{c} x\rightarrow \frac{1}{\sqrt{y}}\\ y\rightarrow \infty\\ \end{array}} e\frac{-1}{y^2-x^2} x→y1y→∞limey2−x2−1

syms x y;
f=exp(-1/(y^2-x^2))
limit((limit(f,x,1/sqrt(y))),y,inf)

求解积分问题

int（f，x，a，b）其中f是被积函数，x是积分变量，a，b分别是上限和下限，如果没有a，b就是求不定积分

1.不定积分

需要注意的是这里不定积分只会给出一个原函数，最后自己别忘了加C
∫1+x4+x8x(1−x8)dx\int{\frac{1+x^4+x^8}{x\left( 1-x^8 \right)}dx} ∫x(1−x8)1+x4+x8dx

syms x
f=(1+x^4+x^8)/(x*(1-x^8))
int(f,x)

2.定积分

∫0ππ+cos⁡xx2−πx+2018dx\int_0^{\pi}{\frac{\pi +\cos x}{x^2-\pi x+2018}dx} ∫0πx2−πx+2018π+cosxdx

syms x;
f=(pi+cos(x))/(x^2-pi*x+2018)
int(f,x,0,pi)

我蚌埠住了啊，matlab不会算这个定积分，给我输出原式，开始装死了（手算了一下，需要用到区间再现公式，然后才能算，用mathematics算了一下：）

与手算结果一致（应该不是我输入错误吧），是我的错误的话，还请大佬指正
例2，来个简单的
∫23∣1+x∣dx\int_2^3{\left| 1+x \right|}dx ∫23∣1+x∣dx

syms x;
int(abs(1+x),x,2,3)

3.二重积分

和求多重极限一样，二重积分也是先算一个，在算另外一个，不过这里需要添加常数项，这是需要注意的一个点
∬e−txdtdx\iint{e^{-tx}dtdx} ∬e−txdtdx

syms t x c1 c2
f=exp(-t*x)
int((int(f,t)+c1),x)+c2

如果是带有数值的二重积分(这个题手算需要交换积分次序)
∫01dy∫y1[ex2x−ey2]dx\int_0^1{dy\int_y^1{\left[ \frac{e^{x^2}}{x}-e^{y^2} \right]}}dx ∫01dy∫y1[xex2−ey2]dx
其实还是一样，先算一个在算另外一个

syms x y
f=exp(x^2)/x-exp(y^2)
int(int(f,x,y,1),y,0,1)

级数求和

级数的和可以表达为:∑k=k0knfk\sum_{k=k_0}^{k_n}{f_k} k=k0∑knfk
matlab求解函数为symsum
symsum（fk，k，k0，kn）
求：
∑k=1∞1k2\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k^2}} k=1∑∞k21

syms k
f=1/k^2
symsum(f,k,1,inf)

本文参考了matlab数学建模一书，有需要的可以去看看

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