相亲中的最优停止理论-相亲中的数学
问题描述
在每期《非诚勿扰》节目上,面对一位位男嘉宾,24 位单身女生要做出不止一次“艰难的决定”:到底要不要继续亮灯?要不要爆灯?把灯灭掉意味着放弃了这一次机会,继续亮灯则有可能结束节目之旅,放弃了未来更多的选择。
在现实中,面对男生们前仆后继的表白,MM 们也少不了这样的纠结。如果遇到了一个优秀的男生,应该接受还是拒绝呢?如果接受了他,万一下一个更好的话那可就亏大了;可如果为此而拒绝掉一个又一个好男人,也会面对着“过了这个村就没这个店”的风险。说不定白马王子们都已经擦肩而过,到最后就只剩下了猥琐男了,当初的拒绝明显得不偿失。
由于没人能知道真正的缘分何时到来,没人能知道下一个来求爱的男生会是什么样子,接受表白的时机早晚实在很难决定。怎么办?
问题分析
这是一个双向博弈问题。对于女生来说,过早的接受表白可能会错过优秀者,犹豫不决又可能拒绝好男人;而同样对于男生,过早的表白被拒的可能也越大,但晚了又可能被别人捷足先登。这里我们先站在女生的角度分析最佳的选择策略。
女生对每个男生的看法必须是可以量化的,她需要一些样本来估计向她告白的男生的总体水平,以后只要该男生超过了估计值就会答应他。
之后,女生就要确定一个合理的时刻,就是结束样本选取开始接受男生的时刻。
模型假设
1. 假设只允许男生表白而禁止女生表白;
2. 女生会在她17-28岁之间遇到一生中所有的追求者;
3. 追求者到来时间近似服从均匀分布;
4. 女生可以知道她会遇到多少追求者,并对每个追求者有一个量化的评分,评分无重复;
5. 所有追求者类似于排队的方式向女生告白,女生只能选择接受或拒绝,不考虑与已拒绝者破镜重圆;
6. 女生的目标是接受到最优秀者的概率尽可能的大。
模型的建立及求解
有n个男生排队找女生,女生拒绝掉前k个,利用前k个男生估计最佳男生的水平,之后的男生一旦达到这个水平,就接受之。现须确定其中的k与n的关系。
对每一个k,如果最佳男生在第i个位置(i在k到n之间),那么女生选中他当且仅当前i-1个男生中最优秀者在前k个中,可能性为k/(i-1),则
模型分析
对女生来说,如果希望接受最佳男生的概率最大,则应拒绝前n/e的男生,然后之后的男生只要有比前边拒绝的所有男生都优秀,就接受他。其中1/e约为36%,而这也就是该策略失败的概率。即若最优秀男生在前36%,女生就会出现死等的现象,从而找不到伴侣或被迫接受最后一位求爱者。
实际应用:17+(28-17)*36%=20.96,也就是说,根据假设,女生大约在21岁时开始接受追求者。所以,不要在女生21岁前去追求,否则你就成了她的“样本”。
模型改进:由于实际生活中感情是非常复杂的,运用简单的“不可回头”式的接受-拒绝模型很难准确描述。大家都知道女生没有那么笨,很多女生都会有“备胎”(千斤顶打气筒不提)。下面我们在模型中加入备胎。
假定屌丝A在n个人之中,不幸已落入样本之中。假设他在所有人中排位为m,m>1。并假设女生不愿意死等到28,打算在26岁之前就确定。屌丝A和女神(对应)默认问备胎关系,数学语言就是假设A可以在每一个男生表白之后迅速出现并成为候选者,女生若在26岁前找不到比前36%优秀的,A就只需超过最后一位告白者即可。
当A不是备胎时,他如果恰好在女生21岁时告白,成功几率最大。他成功的要求是超过前边36%的追求者;这个概率约为16.7%。(取n=10)
而当他作备胎时,若最佳男生在前36%或26岁之后(大约82%之后),A只需要比最后一位优秀即可,考虑随机性,这个概率应该是1/2;否则几率为0,所以概率约为(36%+1-82%)*50%=27%。
使用建议
女生:在前1/3左右不要轻易接受告白,之后利用前边的男生估计整个男生群体的水平,但注意备胎的存在,而且愿意当备胎也说明他更喜欢你。
男生:在女生21岁之前不要轻易告白,否则很可能成为其样本。不幸者可以充当备胎,这样仍有超过1/4成功的可能,还不考虑你的坚持对女生的感动。
不过,感情要比任何可以求解的数学模型复杂,比如说在现代社会中女生追男生的情况也比较常见,男生和女生互相暗恋的也有因为没有及时表白而错失一段爱情。男生女生之间互相的评分也不可能是定值,肯定会随时间呈现函数关系的变化。所以在现实中要灵活。
参考文献
[1]何声武,往振鹏译,最优停止理论,[M].上海科学出版社出版,1983
[2]盛骤、谢式千等,概率论与数理统计[M].北京,高等教育出版社,2009.
[3]赵静、但琦,数学建模与数学实验[M].北京,高等教育出版社,2008.
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