BZOJ2118[国家集训队] 墨墨的等式

原题链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2118

墨墨的等式

Description

墨墨突然对等式很感兴趣，他正在研究a1x1+a2x2+…+anxn=Ba1x1+a2x2+…+anxn=Ba_1x_1+a_2x_2+…+a_nx_n=B存在非负整数解的条件，他要求你编写一个程序，给定N、{an}、以及B的取值范围，求出有多少B可以使等式存在非负整数解。

Input

输入的第一行包含3个正整数，分别表示N、BMin、BMax分别表示数列的长度、B的下界、B的上界。输入的第二行包含N个整数，即数列{an}的值。

Output

输出一个整数，表示有多少b可以使等式存在非负整数解。

Sample Input

2 5 10
3 5

Sample Output

HINT

对于100%的数据，N≤12，0≤ai≤5 * 10^5，1≤BMin≤BMax≤10^12。

题解

完全背包拿暴力分相信大家都会，就不讲了。

首先，如果我们已经凑出xiai+xjaj...=pxiai+xjaj...=px_ia_i+x_ja_j...=p，那么我们一定能凑出(xi+1)ai+xjaj...=p+ai(xi+1)ai+xjaj...=p+ai(x_i+1)a_i+x_ja_j...=p+a_i，所以对于某个元素aiaia_i,设x∈[0,ai),p′ mod ai=xx∈[0,ai),p′modai=xx\in [0,a_i),p'\ mod\ a_i=x ，当我们找到满足条件的的最小的p’时，我们一定可以凑出ai+x,2ai+x,3ai+x...ai+x,2ai+x,3ai+x...a_i+x,2a_i+x,3a_i+x...，进而我们就可以计算出在[1,R][1,R][1,R]中满足对aiaia_i取模得到xxx的数的个数。

为了减少复杂度，我们不妨把ai" role="presentation" style="position: relative;">aiaia_i取为a中最小的元素aminamina_{min}。接下来我们就可以建图，节点0∼amin0∼amin0\sim a_{min}表示对aminamina_{min}取模的余数，dis[i]表示满足p′ mod amin=ip′modamin=ip'\ mod\ a_{min}=i的p’的最小值。建边时，对于每个节点j，我们枚举所有aiaia_i，连一条j→(j+ai) mod aminj→(j+ai)modaminj\to (j+a_i)\ mod\ a_{min}的有向边即可。

这道题博主在洛谷上Dijkstra莫名被卡，SPFA加register才A掉，然而BZOJ上Dijkstra还比SPFA快1000ms。。。

记得左区间减一。

代码

Dijkstra：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int M=5e5+5;
struct sd{ll n,d;bool operator <(const sd &b)const{return b.d<d;}
};
ll n,b1,b2,dis[M],a[M],minn=1e17;
vector<sd>edge[M];
bool vis[M];
priority_queue<sd>dui;
void in()
{scanf("%lld%lld%lld",&n,&b1,&b2);for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%lld",&a[i]),minn=min(a[i],minn);
}
void dijkstra()
{for(int i=1;i<minn;++i)dis[i]=1e17;dis[0]=0;dui.push((sd){0,0});sd f,t;while(!dui.empty()){f=dui.top();dui.pop();if(vis[f.n])continue;vis[f.n]=1;for(int i=edge[f.n].size()-1;i>=0;--i){t=edge[f.n][i];if(!vis[t.n]&&dis[t.n]>dis[f.n]+t.d){dis[t.n]=dis[f.n]+t.d;dui.push((sd){t.n,dis[t.n]});}}}
}
void ac()
{for(int i=0;i<minn;++i)for(int j=1;j<=n;++j)if(a[j]%minn!=0)edge[i].push_back((sd){(i+a[j])%minn,a[j]});dijkstra();ll ans=0;b1--;for(int i=0;i<minn;++i){if(dis[i]<=b1)ans-=(b1-dis[i])/minn+1;if(dis[i]<=b2)ans+=(b2-dis[i])/minn+1;}printf("%lld",ans);
}
int main()
{in();ac();return 0;
}

SPFA：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define R register
using namespace std;
const int M=5e5+5;
struct sd{ll n,d;
};
ll n,b1,b2,dis[M],a[M],minn=1e17;
vector<sd>edge[M];
bool vis[M];
queue<int>dui;
void in()
{scanf("%lld%lld%lld",&n,&b1,&b2);for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%lld",&a[i]),minn=min(a[i],minn);
}
void SPFA()
{memset(dis,53,sizeof(dis));dis[0]=0;dui.push(0);int f;sd t;R int i;while(!dui.empty()){f=dui.front();dui.pop();vis[f]=0;for(i=edge[f].size()-1;i>=0;--i){sd t=edge[f][i];if(dis[t.n]>dis[f]+t.d){dis[t.n]=dis[f]+t.d;dui.push(t.n);}}}
}
void ac()
{R int i,j;for(i=0;i<minn;++i)for(j=1;j<=n;++j)if(a[j]%minn!=0)edge[i].push_back((sd){(i+a[j])%minn,a[j]});SPFA();ll ans=0;b1--;for(i=0;i<minn;++i){if(dis[i]<=b1)ans-=(b1-dis[i])/minn+1;if(dis[i]<=b2)ans+=(b2-dis[i])/minn+1;}printf("%lld",ans);
}
int main()
{in();ac();return 0;
}