[物理学与PDEs]第1章第9节 Darwin 模型 9.3 Darwin 模型

1. $\Omega$ 中 ${\bf A}={\bf A}_T+{\bf A}_L$, 其中 $\Div{\bf A}_T=0$, $\rot{\bf A}_L={\bf 0}$. 若 $$\bex {\bf A}_L\times{\bf n}={\bf 0},\mbox{ on }\p\Omega, \eex$$ 则分解唯一, 且有形式 ${\bf A}_L=-\n\psi$, 其中 $\psi$ 为 $$\beex \bea -\lap\psi=\Div{\bf A},&\quad\mbox{in }\Omega,\\ \psi=C,&\quad\mbox{on }\p\Omega \eea \eeex$$ 的解.

2. 设 ${\bf E}={\bf E}_T+{\bf E}_L$, 其中 $\Div{\bf E}_T=0$, $\rot{\bf E}_L={\bf 0}$, 且在 $\p\Omega$ 上, ${\bf E}_L\times{\bf n}={\bf 0}$, 则在 Maxwell 方程组中忽略 $\ve\cfrac{\p{\bf E}_T}{\p t}$ 得 $$\beex \bea \ve\cfrac{\p {\bf E}_L}{\p t}-\cfrac{1}{\mu}\rot{\bf B}&=-{\bf j},\\ \cfrac{\p {\bf B}}{\p t}+\rot{\bf E}_T&={\bf 0},\\ \Div{\bf E}_L&=\cfrac{\rho}{\ve},\\ \Div {\bf E}_T&=0,\\ \rot{\bf E}_L&={\bf 0},\\ \Div {\bf B}&=0. \eea \eeex$$

3. 边界条件: $$\beex \bea {\bf E}_L\times{\bf n}&={\bf 0},\\ {\bf E}_T\times {\bf n}&={\bf 0},\quad\quad\mbox{on }\p\Omega. \\ {\bf B}\cdot{\bf n}&={\bf B}_0\cdot{\bf n}_0, \eea \eeex$$

4. 初始条件: $$\bex {\bf E}_L={\bf E}_{0L},\quad{\bf B}={\bf B}_0,\quad\mbox{on }\sed{t=0}\times \Omega. \eex$$ 其中 ${\bf E}_{0L}$ 为 ${\bf E}_0$ 的纵场部分, 满足相容性条件.

5. Darwin 模型的定解问题 $\lra \forall\ t$ 求解

(1) ${\bf E}_L=-\n\phi$, 其中 $\phi$ 满足 $\cdots$;

(2) ${\bf B}$ 满足 $\cdots$;

(3) ${\bf E}_T$ 满足 $\cdots$.

6. 在一定条件下, Darwin 模型为 Maxwell 方程组的一个好的近似

(1) 当 $\cfrac{\omega l}{c}\to 0$ 时, $({\bf E}^D,{\bf B}^D)\to ({\bf E},{\bf B})$.

(2) ${\bf E}_L^D={\bf E}_L$.

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