〇、写在前面
一、时域分析法性能指标
- 1.1 典型输入信号
- 1.2 系统时间响应过程
- 1.3 动态性能指标
二、一阶系统时域分析
- 2.1 一阶系统数学模型
- 2.2 一阶系统单位阶跃响应
- 2.3 一阶系统单位脉冲响应
- 2.4 一阶系统单位斜坡响应
- 2.5 一阶系统单位加速度响应
三、二阶系统时域分析
- 3.1 二阶系统数学模型
- 3.2 二阶系统特征方程和阶跃响应
- - 3.2.1 负阻尼系统阶跃响应
  - 3.2.2 欠阻尼系统阶跃响应
  - 3.2.3 临界阻尼系统阶跃响应
  - 3.2.4 过阻尼系统阶跃响应
- 3.3 欠阻尼二阶系统动态过程
- - 3.3.1 上升时间 trt_rtr
  - 3.3.2 峰值时间 tpt_ptp
  - 3.3.3 超调量 σ%\sigma\%σ%
  - 3.3.4 调节时间 tst_sts
- 3.4 过阻尼二阶系统动态过程
四、线性定常系统稳定性
- 4.1 系统的稳定性
- 4.2 线性系统稳定的充分必要条件
- 4.3 劳斯判据
- - 4.3.1 劳斯表
  - 4.3.2 劳斯判据
  - 4.3.3 特殊情况的处理
  - 4.3.4 各阶系统的稳定性结论
五、稳态误差
- 5.1 线性闭环系统的误差传递函数
- 5.2 稳态误差计算式
- 5.3 系统型别与稳态误差
- 5.4 稳态误差的意义
- 5.5 减小稳态误差的方法

〇、写在前面

本文内容涉及到对系统的传递函数、系统模型的理解，关于这部分，可参考我之前写过的【自动控制原理】控制系统的数学模型

一、时域分析法性能指标

控制理论中，衡量系统“好”“差”的指标有很多，但主要围绕三点展开：稳、准、快；即系统的稳定性能、稳态性能和动态性能。线性定常系统在典型输入下，研究其输出响应的波形，可以看出系统的性能。

时域分析法主要是在时间坐标下，分析系统性能的方法。衡量时域下系统响应的指标主要有稳定性、快速性和准确性。

1.1 典型输入信号

信号类型	时域表达式	对应拉氏变换
单位阶跃输入	r(t)=1(t)r(t) = 1(t)r(t)=1(t)	1s\frac{1}{s}s1
单位斜坡输入	r(t)=tr(t) = tr(t)=t	1s2\frac{1}{s^2}s21
单位加速度输入	r(t)=t22r(t) = \frac{t^2}{2}r(t)=2t2	1s3\frac{1}{s^3}s31
单位脉冲输入	r(t)=δ(t)r(t) = \delta(t)r(t)=δ(t)	111
正弦输入	r(t)=Asin(ωt)r(t) = Asin(\omega t)r(t)=Asin(ωt)	Aωs2+ω2\frac{A\omega}{s^2+\omega^2}s2+ω2Aω

实际应用中，具体采取哪种信号作为系统的输入信号，一般取决于系统的工作状态。在测试系统时，一般采取对系统最不利的信号作为输入信号。阶跃信号由于是一种突变，具有较大的变化率，考验系统跟随的快速性和稳定性，并考验系统的稳定性，所以阶跃信号一般被视为对系统较为不利的信号输入。

1.2 系统时间响应过程

分为动态过程和稳态过程两部分：
（1）动态过程：系统在典型输入下，其输出量从初始状态到最终状态的变化过程。
（2）稳态过程：系统在典型输入下，当时间趋向于无穷时，系统输出量最终表现出来的状态。

电路中学过，动态RLC电路系统的全响应有两种写法：

（1）y(t)=[y(t0+)−y(∞)]e−t−t0τ+y(∞)=yp+yhy(t) =[y(t_0^+)-y(\infty)]e^{-\frac{t-t_0}{\tau}}+y(\infty)=y_p+y_hy(t)=[y(t0+)−y(∞)]e−τt−t0+y(∞)=yp+yh

其中ypy_pyp叫做齐次通解、固有项、暂态响应，yhy_hyh叫做非齐次特解、强迫项、稳态响应。

（2）y(t)=y(t0+)e−t−t0τ+(1−e−t−t0τ)y(∞)=yx+yfy(t)=y(t_0^+)e^{-\frac{t-t_0}{\tau}}+(1-e^{-\frac{t-t_0}{\tau}})y(\infty)=y_x+y_fy(t)=y(t0+)e−τt−t0+(1−e−τt−t0)y(∞)=yx+yf

其中yxy_xyx叫做零输入响应，yfy_fyf叫做零状态响应。

1.3 动态性能指标

某系统在1(t)1(t)1(t)作用下，动态过程随ttt变化如下：

稳态输出 c(∞)c(\infty)c(∞)：当 t→∞t\to\inftyt→∞时，系统的输出值。
延迟时间 tdt_dtd：从t=0t=0t=0开始，达到12c(∞)\frac{1}{2}c(\infty)21c(∞)时所用时间。
上升时间 trt_rtr：从t=0t=0t=0开始，到第一次到达c(∞)c(\infty)c(∞)所用时间。
峰值时间 tpt_ptp：从t=0t=0t=0开始，到第一次到达峰值时所用的时间。
超调量 σ%\sigma \%σ%：从t=0t=0t=0到达到稳态值的过程中，输出最高峰相对稳态值的相对误差。
调节时间 tst_sts：从t=0t=0t=0开始，输出响应到达并稳定在误差带内所用时间。
误差带：一般定义c(∞)±5%c(\infty)\pm5\%c(∞)±5%或c(∞)±2%c(\infty)\pm2\%c(∞)±2%范围为误差带。

二、一阶系统时域分析

2.1 一阶系统数学模型

研究微分控制系统：

建模可得方程（具体建模过程参考【自动控制原理】控制系统的数学模型）：
Tc˙(t)+c(t)=r(t)T\dot{c}(t)+c(t)=r(t)Tc˙(t)+c(t)=r(t)于是，传递函数可以写为：Φ(s)=1Ts+1\Phi(s)=\frac{1}{Ts+1}Φ(s)=Ts+11一般地，将具有上述闭环传递函数的系统称为一阶系统，其中 TTT 叫做时间常数。对RC电路，有：
Φ(s)=1RCs+1\Phi(s) = \frac{1}{RCs+1}Φ(s)=RCs+11即：RCducdt+uc(t)=ur(t)RC\frac{du_c}{dt}+u_c(t) = u_r(t)RCdtduc+uc(t)=ur(t)

2.2 一阶系统单位阶跃响应

由一阶系统闭环传递函数可以看出，当输入为阶跃信号时：
Uc(s)1s=1Ts+1\frac{U_c(s)}{\frac{1}{s}}=\frac{1}{Ts+1}s1Uc(s)=Ts+11∴\therefore∴Uc(s)=1Ts2+s=1s−1s+1TU_c(s)=\frac{1}{Ts^2+s}=\frac{1}{s}-\frac{1}{s+\frac{1}{T}}Uc(s)=Ts2+s1=s1−s+T11
∴\therefore∴ 一阶系统的单位阶跃响应为：c(t)=1−e−1Tt(t≥0)c(t)=1-e^{-\frac{1}{T}t}(t\geq0)c(t)=1−e−T1t(t≥0)

以 T=0.02 的一阶系统为例，下同：

该响应具有一些性质：
（1）t=0t=0t=0 时，响应曲线斜率：c˙(0)=c˙(t)∣t=0=1Te−1Tt∣t=0=1T\dot{c}(0)=\dot{c}(t)\mid_{t=0}=\frac{1}{T}e^{-\frac{1}{T}t}\mid_{t=0}=\frac{1}{T}c˙(0)=c˙(t)∣t=0=T1e−T1t∣t=0=T1

（2）该曲线是上凸的，且凸率逐渐减小，所以：d2c(t)dt2<0，d3c(t)dt3>0\frac{d^2c(t)}{dt^2}<0，\frac{d^3c(t)}{dt^3}>0dt2d2c(t)<0，dt3d3c(t)>0

（3）超调量σ%=0\sigma\%=0σ%=0

（4）误差带设置为0.05时，调节时间 ts≈3Tt_s\approx3Tts≈3T，误差带设置为0.02时，调节时间 ts≈4Tt_s\approx4Tts≈4T

2.3 一阶系统单位脉冲响应

由一阶系统闭环传递函数可以看出，当输入为脉冲信号时：
Uc(s)1=1Ts+1\frac{U_c(s)}{1}=\frac{1}{Ts+1}1Uc(s)=Ts+11∴\therefore∴Uc(s)=1Ts+1=1T1s+1TU_c(s)=\frac{1}{Ts+1}=\frac{1}{T}\frac{1}{s+\frac{1}{T}}Uc(s)=Ts+11=T1s+T11
∴\therefore∴ 一阶系统的单位脉冲响应为：c(t)=1Te−1Tt(t≥0)c(t)=\frac{1}{T}e^{-\frac{1}{T}t}(t\geq0)c(t)=T1e−T1t(t≥0)
响应曲线如下：

该响应具有一些性质：

（1）初始斜率 dc(t)dt∣t=0=−1T2\frac{dc(t)}{dt}\mid_{t=0}=-\frac{1}{T^2}dtdc(t)∣t=0=−T21

（2）该曲线是下凹的，且凹率逐渐减小，所以：d2c(t)dt2>0，d3c(t)dt3<0\frac{d^2c(t)}{dt^2}>0，\frac{d^3c(t)}{dt^3}<0dt2d2c(t)>0，dt3d3c(t)<0

（3）超调量σ%=0\sigma\%=0σ%=0

（4）误差带设置为0.05时，调节时间 ts≈3T−TlnTt_s\approx3T-TlnTts≈3T−TlnT，误差带设置为0.02时，调节时间 ts≈4T−TlnTt_s\approx4T-TlnTts≈4T−TlnT

2.4 一阶系统单位斜坡响应

由一阶系统闭环传递函数可以看出，当输入为斜坡信号时：
Uc(s)1s2=1Ts+1\frac{U_c(s)}{\frac{1}{s^2}}=\frac{1}{Ts+1}s21Uc(s)=Ts+11∴\therefore∴Uc(s)=1s2(Ts+1)=1s2−Ts+Ts+1TU_c(s)=\frac{1}{s^2(Ts+1)}=\frac{1}{s^2}-\frac{T}{s}+\frac{T}{s+\frac{1}{T}}Uc(s)=s2(Ts+1)1=s21−sT+s+T1T
∴\therefore∴ 一阶系统的单位斜坡响应为：c(t)=t−T+Te−1Tt(t≥0)c(t)=t-T+Te^{-\frac{1}{T}t}(t\geq0)c(t)=t−T+Te−T1t(t≥0)
响应曲线如下：

该响应具有若干特点：
（1）输出响应包含了稳态分量 t−Tt-Tt−T 和瞬态分量 Te−tTTe^{-\frac{t}{T}}Te−Tt 说明输出相比输入，滞后 TTT

（2）由于输出相对输入存在滞后，因此一阶系统跟随单位斜坡输入时，存在稳态误差。（关于稳态误差详见第六部分）

（3）可以证明，t=0t=0t=0 时，输出响应的斜率是0，t→∞t\to\inftyt→∞时，输出响应的斜率极限是1

（4）输出响应是下凹的，且凹率越来越小，所以dc2(t)dt2>0\frac{dc^2(t)}{dt^2}>0dt2dc2(t)>0且dc3(t)dt3<0\frac{dc^3(t)}{dt^3}<0dt3dc3(t)<0

2.5 一阶系统单位加速度响应

由一阶系统闭环传递函数可以看出，当输入为单位加速度信号时：
Uc(s)1s3=1Ts+1\frac{U_c(s)}{\frac{1}{s^3}}=\frac{1}{Ts+1}s31Uc(s)=Ts+11∴\therefore∴Uc(s)=1s3(Ts+1)=1s3−Ts2+T2s−T2s+1TU_c(s)=\frac{1}{s^3(Ts+1)}=\frac{1}{s^3}-\frac{T}{s^2}+\frac{T^2}{s}-\frac{T^2}{s+\frac{1}{T}}Uc(s)=s3(Ts+1)1=s31−s2T+sT2−s+T1T2
∴\therefore∴ 一阶系统的单位斜坡响应为：c(t)=12t2−Tt+T2(1−e−1Tt)(t≥0)c(t)=\frac{1}{2}t^2-Tt+T^2(1-e^{-\frac{1}{T}t})(t\geq0)c(t)=21t2−Tt+T2(1−e−T1t)(t≥0)
响应曲线如下：

可以看出，输入和输出之间的拉差在增大，我们可以推导两者之间的误差：
e(t)=r(t)−c(t)=Tt−T2(1−e−1Tt)e(t)=r(t)-c(t)=Tt-T^2(1-e^{-\frac{1}{T}t})e(t)=r(t)−c(t)=Tt−T2(1−e−T1t)求导：de(t)dt=T−Te−1Tt>0\frac{de(t)}{dt}=T-Te^{-\frac{1}{T}t}>0dtde(t)=T−Te−T1t>0
所以，输入与输出之间存在误差（稳态误差详见第六部分），且随着时间的推移，该误差值逐渐增大。因此，一阶系统无法跟踪加速度输入。

三、二阶系统时域分析

3.1 二阶系统数学模型

二阶系统可以写成：Φ(s)=C(s)R(s)=ωn2s2+2ζωs+ωn2\Phi(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega s+\omega_n^2}Φ(s)=R(s)C(s)=s2+2ζωs+ωn2ωn2其中，ωn\omega_nωn叫做自然频率，ζ\zetaζ叫做阻尼比。

3.2 二阶系统特征方程和阶跃响应

令二阶系统闭环传递函数分母多项式为0，可以得到系统的特征方程：s2+2ζωs+ωn2=0s^2+2\zeta\omega s+\omega_n^2=0s2+2ζωs+ωn2=0解得：s1,2=−ζωn±ωnζ2−1s_{1,2}=-\zeta\omega_n\pm\omega_n\sqrt{\zeta^2-1}s1,2=−ζωn±ωnζ2−1可以看出，二阶系统的性能与其特征根的位置有关，模值取决于ωn\omega_nωn，性质取决于ζ\zetaζ。

3.2.1 负阻尼系统阶跃响应

当 −1<ζ<0-1<\zeta<0−1<ζ<0 时，系统具有两个正实部的复根，当 ζ<−1\zeta<-1ζ<−1 时，系统具有两个正实根。

对系统进行仿真，可以看出，系统的动态过程呈现发散振荡或者单调发散，这样的系统是不稳定的。

3.2.2 欠阻尼系统阶跃响应

欠阻尼系统有 0<ζ<10<\zeta<10<ζ<1 ，系统在左半平面有两个共轭复根。

阶跃响应：c(t)=1−e−ζωnt1−ζ2sin(ωdt+β)(t≥0)c(t)=1-\frac{e^{-\zeta\omega_nt}}{\sqrt{1-\zeta^2}}sin(\omega_dt+\beta)\space\space(t\geq0)c(t)=1−1−ζ2e−ζωntsin(ωdt+β) (t≥0)

可以看出，系统稳态分量为1，瞬态分量振荡频率为 ωd\omega_dωd ，包络线为 1±e−ζωnt/1−ζ21\pm e^{-\zeta\omega_nt}/\sqrt{1-\zeta^2}1±e−ζωnt/1−ζ2

包络线的收敛速度取决于 ζωn\zeta\omega_nζωn ，称之为衰减系数

3.2.3 临界阻尼系统阶跃响应

临界阻尼时，ζ=1\zeta=1ζ=1，特征根分布如图所示：

当 ζ=1,R(s)=1s\zeta=1,R(s)=\frac{1}{s}ζ=1,R(s)=s1 时，有：C(s)=ωn2s(s+ωn)2=1s−ωn(s+ωn)2−1s+ωnC(s)=\frac{\omega_n^2}{s(s+\omega_n)^2}=\frac{1}{s}-\frac{\omega_n}{(s+\omega_n)^2}-\frac{1}{s+\omega_n}C(s)=s(s+ωn)2ωn2=s1−(s+ωn)2ωn−s+ωn1于是：c(t)=1−e−ωnt(1+ωnt),(t≥0)c(t)=1-e^{-\omega_nt}(1+\omega_nt),\space\space(t\geq0)c(t)=1−e−ωnt(1+ωnt), (t≥0)其响应过程如下：

这个图的样子跟一阶系统那个有点像，但两者不是同一回事！二阶临界阻尼系统响应过程为单调上升，响应值区域常数1（因为我们施加的输入是单位阶跃）。

3.2.4 过阻尼系统阶跃响应

过阻尼时，ζ>1\zeta>1ζ>1，特征根分布如图所示：

动态响应示例如下：

我们可以画出不同阻尼时的响应图：

从上图可以看出 ζ\zetaζ从负值变为正值过程中，不同的响应曲线。

3.3 欠阻尼二阶系统动态过程

在3.2节我们讨论了欠阻尼二阶系统的阻尼比取值范围及其对应的响应。现实工程中，为兼顾快速性和阻尼比，往往取 0.4<ζ<0.80.4<\zeta<0.80.4<ζ<0.8，下面讨论在动态过程中，欠阻尼系统的响应指标。

3.3.1 上升时间 trt_rtr

已知二阶欠阻尼系统单位阶跃响应为：c(t)=1−e−ζωnt1−ζ2sin(ωdt+β)c(t)=1-\frac{e^{-\zeta\omega_nt}}{\sqrt{1-\zeta^2}}sin(\omega_dt+\beta)c(t)=1−1−ζ2e−ζωntsin(ωdt+β)令c(t)=1c(t)=1c(t)=1，即 e−ζωnt1−ζ2sin(ωdt+β)=0\frac{e^{-\zeta\omega_nt}}{\sqrt{1-\zeta^2}}sin(\omega_dt+\beta)=01−ζ2e−ζωntsin(ωdt+β)=0得：ωdt+β=π\omega_dt+\beta=\piωdt+β=π故而得到上升时间：tr=π−βωd=π−βωn1−ζ2t_r=\frac{\pi-\beta}{\omega_d}=\frac{\pi-\beta}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}}tr=ωdπ−β=ωn1−ζ2π−β

3.3.2 峰值时间 tpt_ptp

峰值时间为上升到第一个峰所用时长，在峰值点处导数为0，对输出响应求导：
dc(t)dt=ζωne−ζωnt1−ζ2sin(ωdt+β)−ωde−ζωnt1−ζ2cos(ωdt+β)\frac{dc(t)}{dt}=\frac{\zeta\omega_ne^{-\zeta\omega_nt}}{\sqrt{1-\zeta^2}}sin(\omega_dt+\beta)-\omega_d\frac{e^{-\zeta\omega_nt}}{\sqrt{1-\zeta^2}}cos(\omega_dt+\beta)dtdc(t)=1−ζ2ζωne−ζωntsin(ωdt+β)−ωd1−ζ2e−ζωntcos(ωdt+β)令其为0，得：ζωne−ζωnt1−ζ2sin(ωdt+β)=ωde−ζωnt1−ζ2cos(ωdt+β)\frac{\zeta\omega_ne^{-\zeta\omega_nt}}{\sqrt{1-\zeta^2}}sin(\omega_dt+\beta)=\omega_d\frac{e^{-\zeta\omega_nt}}{\sqrt{1-\zeta^2}}cos(\omega_dt+\beta)1−ζ2ζωne−ζωntsin(ωdt+β)=ωd1−ζ2e−ζωntcos(ωdt+β)即：ζsin(ωdt+β)=1−ζ2cos(ωdt+β)\zeta sin(\omega_dt+\beta)=\sqrt{1-\zeta^2}cos(\omega_dt+\beta)ζsin(ωdt+β)=1−ζ2cos(ωdt+β)所以：tan(ωdt+β)=1−ζ2ζtan(\omega_dt+\beta)=\frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta}tan(ωdt+β)=ζ1−ζ2由3.2.2节中的特征根分布图可知，1−ζ2ζ\frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta}ζ1−ζ2正是 tan(β)tan(\beta)tan(β)，故而有 ωdt=π\omega_dt=\piωdt=π，解得：tp=πωd=πωn1−ζ2t_p=\frac{\pi}{\omega_d}=\frac{\pi}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}}tp=ωdπ=ωn1−ζ2π

3.3.3 超调量 σ%\sigma\%σ%

超调量的定义为最高峰与稳态值的相对误差，对于二阶欠阻尼系统，最高峰出现在峰值时间处，故而有：σ%=c(tp)−c(∞)c(∞)×100%=−e−ζωntp1−ζ2sin(ωdtp+β)×100%\sigma\%=\frac{c(t_p)-c(\infty)}{c(\infty)}\times100\%=-\frac{e^{-\zeta\omega_nt_p}}{\sqrt{1-\zeta^2}}sin(\omega_dt_p+\beta)\times100\%σ%=c(∞)c(tp)−c(∞)×100%=−1−ζ2e−ζωntpsin(ωdtp+β)×100%将 tpt_ptp 代入，结合3.2.2中的特征根分布图，可知：σ%=e−πζ1−ζ2×100%\sigma\%=e^{-\frac{\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}}\times100\%σ%=e−1−ζ2πζ×100%

3.3.4 调节时间 tst_sts

调节时间定义为从开始到进入误差带的最小时间，亦即：∣c(t)−c(∞)∣≤Δc(∞)|c(t)-c(\infty)|\leq\Delta c(\infty)∣c(t)−c(∞)∣≤Δc(∞)而：∣e−ζωnt1−ζ2sin(ωdt+β)∣≤e−ζωnt1−ζ2|\frac{e^{-\zeta\omega_nt}}{\sqrt{1-\zeta^2}}sin(\omega_dt+\beta)|\leq\frac{e^{-\zeta\omega_nt}}{\sqrt{1-\zeta^2}}∣1−ζ2e−ζωntsin(ωdt+β)∣≤1−ζ2e−ζωnt如果取 Δ=0.05\Delta=0.05Δ=0.05，则ts=3.5ζωnt_s=\frac{3.5}{\zeta\omega_n}ts=ζωn3.5如果取 Δ=0.02\Delta=0.02Δ=0.02，则ts=4.4ζωnt_s=\frac{4.4}{\zeta\omega_n}ts=ζωn4.4

3.4 过阻尼二阶系统动态过程

对于过阻尼系统，可以将特征方程按如下方法分解：s2+2ζωns+ωn2=(s+1T1)(s+1T2)=0s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2=(s+\frac{1}{T_1})(s+\frac{1}{T_2})=0s2+2ζωns+ωn2=(s+T11)(s+T21)=0那么便有：ζ=1+(T1/T2)2T1/T2\zeta=\frac{1+(T_1/T_2)}{2\sqrt{T_1/T_2}}ζ=2T1/T21+(T1/T2)若如此做，则上升时间可以近似描述为：tr=1+1.5ζ+ζ2ωnt_r=\frac{1+1.5\zeta+\zeta^2}{\omega_n}tr=ωn1+1.5ζ+ζ2过阻尼系统由于具有较长的调节时间，因此对于该上升时间计算式，我们在此不加证明给出近似描述（具体可参考胡寿松《自动控制原理（第六版）》P79）。过阻尼系统调节时间我们往往更加关注，参考书中教材，给出调节时间的有关结论：
（1）如果 T1≥4T2T_1\geq4T_2T1≥4T2，系统等效为具有 −1/T1-1/T_1−1/T1闭环极点的一阶系统，取 ts=3T1t_s=3T_1ts=3T1，可以确保精度达到90%以上。
（2）如果 ζ=1\zeta=1ζ=1，则临界阻尼系统调节时间 ts=4.75T1t_s=4.75T_1ts=4.75T1

PS：至于高阶系统，那个算式markdown起来太麻烦了，我先挖个坑，以后来填。。。。。

四、线性定常系统稳定性

4.1 系统的稳定性

稳定性描述了系统的一种性能，即受到扰动后，输出出现偏离，当扰动消失后，系统能够恢复到原来状态的能力。

稳定性的关键点在于“恢复原来状态的能力”，而不是“受到扰动不发生偏离的能力”。

看这个例子：

一根木棍，可以绕O点转动，顶端放置一个小球，当小球放置在B点时，给小球一个扰动，在重力作用下，小球都会最终回到B点。因此对于小球来说，B点是一个稳定点。但是如果小球初始在A点平衡，给小球一个扰动，则小球轻易不会再次稳定在A点。因此对于小球来说，A点是一个非稳定点。

而现实中有一些系统，往往具有一种特性，即扰动在一定范围内时，系统是稳定的，当超过了这个限度，系统将在受到扰动后无法恢复原来状态。举个例子理解：

对于第一张图，两个侧壁无限延伸，则对于放在里面的小球，无论在哪个点释放，无论给予小球一个什么样的扰动，小球最终都能稳定在最低点A处。称这样的系统为“大范围稳定”。

而对于第二张图，当施加给小球的扰动是在一个范围时，即小球不越过两侧山峰最高点，小球都能来回摇动后最终回到A点，但如果扰动使得小球超过两侧峰，比如到达了D点处，则小球将无法再次回到A点。称这样的系统为“小范围渐进稳定”。

李雅普诺夫稳定性理论中，将系统看做具有“能量”的系统，使用“能量函数”去描述，如果系统的动态过程随着时间的推移衰减并趋近于0，则系统渐进稳定。说通俗点就是，你一个系统具有能量，如果你这里面的能量随着时间推移越来越多，越来越多，那么就会导致不稳定，只有“能量”随时间推移“衰减”，系统才能达到稳定状态。这也正是李雅普诺夫稳定理论中使用偏导数小于0去描述稳定性的理论依据。

4.2 线性系统稳定的充分必要条件

以下说法是等价的：
（1）该线性系统是稳定的；
（2）系统的特征根具有负实部；
（3）系统状态矩阵所有特征值都具有负实部；
（4）系统的脉冲响应输出经过足够长的时间能够衰减到0；
（5）系统输出增量收敛于原来平衡点；
（6）系统闭环传递函数所有极点都位于s域左半平面；
（7）系统没有在s域右半平面的特征根；

4.3 劳斯判据

4.3.1 劳斯表

写出系统的特征方程：a0sn+a1sn−1+⋯+an−1s+an=0(a0>0)a_0s^n+a_1s^{n-1}+\cdots+a_{n-1}s+a_n=0\space\space\space(a_0>0)a0sn+a1sn−1+⋯+an−1s+an=0 (a0>0)列劳斯表：
sn∣a0a2a4a6⋯sn−1∣a1a3a5a7⋯sn−2∣c13c23c33c43⋯sn−3∣c14c24c34c44⋯⋮∣s2∣c1,n−2c2,n−2c3,n−2s1∣c1,n−1c2,n−1s0∣c1,n\begin{matrix} s^n & | &a_0 & a_2 & a_4 & a_6 &\cdots\\ s^{n-1} & | &a_1 & a_3 & a_5 & a_7 &\cdots\\ s^{n-2} & | &c_{13} & c_{23} & c_{33} & c_{43}&\cdots\\ s^{n-3} & | &c_{14} & c_{24} & c_{34} & c_{44}&\cdots\\ \vdots & | & \\ s^{2} & | & c_{1,n-2} & c_{2,n-2} & c_{3,n-2}\\ s^1 & | & c_{1,n-1} & c_{2,n-1}\\ s^0 & | & c_{1,n} \end{matrix}snsn−1sn−2sn−3⋮s2s1s0∣∣∣∣∣∣∣∣a0a1c13c14c1,n−2c1,n−1c1,na2a3c23c24c2,n−2c2,n−1a4a5c33c34c3,n−2a6a7c43c44⋯⋯⋯⋯

其中：ci,j={−∣a0a2ia1a2i+1∣a1,if j=3−∣a1a2i+1c13ci+1,3∣c13,if j=4−∣c1,j−2ci+1,j−2c1,j−1ci+1,j−1∣c1,j−1,if j>4c_{i,j} = \begin{cases} -\frac{\begin{vmatrix} a_0 & a_{2i} \\ a_1 & a_{2i+1} \\ \end{vmatrix}}{a_1}, & \text{if $j=3$} \\ \\ -\frac{\begin{vmatrix} a_1 & a_{2i+1} \\ c_{13} & c_{i+1,3} \\ \end{vmatrix}}{c_{13}}, & \text{if $j=4$} \\ \\ -\frac{\begin{vmatrix} c_{1,j-2} & c_{i+1,j-2} \\ c_{1,j-1} & c_{i+1,j-1} \\ \end{vmatrix}}{c_{1,j-1}}, & \text{if $j>4$} \\ \end{cases}ci,j=⎩⎨⎧−a1∣∣a0a1a2ia2i+1∣∣,−c13∣∣a1c13a2i+1ci+1,3∣∣,−c1,j−1∣∣c1,j−2c1,j−1ci+1,j−2ci+1,j−1∣∣,if j=3if j=4if j>4

4.3.2 劳斯判据

劳斯表中第一列所有数均大于0，则系统稳定。如果第一列有小于0的数，那么第一列系数符号改变的次数，等于特征方程具有正实部根的个数。

4.3.3 特殊情况的处理

如果劳斯表某行第一列出现0，其他元素不为0或者不全为0：
用一个很小的正数 ϵ\epsilonϵ 去代替0，重新对新表使用劳斯判据。
如果劳斯表出现全0行：
用上一行系数构造辅助方程，对该方程求导，得到新方程，用新方程的系数去替换全零行

出现全零行，说明该系统存在大小相等，对称于原点的根。

4.3.4 各阶系统的稳定性结论

一阶、二阶系统稳定的充要条件：特征方程各项系数均大于0
三阶系统稳定的充要条件：特征方程各项系数均大于0，且a0a3<a1a2a_0a_3<a_1a_2a0a3<a1a2
高阶系统稳定的必要条件：特征方程的各项系数均大于0

五、稳态误差

5.1 线性闭环系统的误差传递函数

则：E(s)=R(s)−C(s)H(s)E(s)=R(s)-C(s)H(s)E(s)=R(s)−C(s)H(s)系统是闭环的，所以：Φ(s)=C(s)R(s)=G(s)1+G(s)H(s)\Phi(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}Φ(s)=R(s)C(s)=1+G(s)H(s)G(s)于是：E(s)=R(s)−R(s)G(s)H(s)1+G(s)H(s)=R(s)[11+G(s)H(s)]E(s)=R(s)-\frac{R(s)G(s)H(s)}{1+G(s)H(s)}=R(s)\left[\frac{1}{1+G(s)H(s)}\right]E(s)=R(s)−1+G(s)H(s)R(s)G(s)H(s)=R(s)[1+G(s)H(s)1]所以：Φe(s)=E(s)R(s)=11+G(s)H(s)\Phi_e(s)=\frac{E(s)}{R(s)}=\frac{1}{1+G(s)H(s)}Φe(s)=R(s)E(s)=1+G(s)H(s)1

5.2 稳态误差计算式

由拉氏变换的终值定理（拉氏变换传送门）得：ess=lim⁡t→∞e(t)=lim⁡s→0sE(s)=lim⁡s→0sR(s)1+G(s)H(s)e_{ss}=\lim_{t \to \infty} e(t)=\lim_{s \to 0}sE(s)=\lim_{s \to 0}\frac{sR(s)}{1+G(s)H(s)}ess=t→∞lime(t)=s→0limsE(s)=s→0lim1+G(s)H(s)sR(s)
需要注意的是，这个计算公式适用于没有人为规定 E(s)E(s)E(s)计算的且没有其他前向通道的系统。

如果人为规定了以何处的信号作为 E(s)E(s)E(s) 则优先以人为规定为准。
如果系统增加了前向通道，则 E(s)=R(s)−C(s)E(s)=R(s)-C(s)E(s)=R(s)−C(s)，并有：ess=limt→∞e(t)=lim⁡s→0sE(s)=lim⁡s→0s[R(s)−C(s)]e_{ss}=lim_{t \to \infty} e(t)=\lim_{s \to 0}sE(s)=\lim_{s \to 0}s\left[R(s)-C(s)\right]ess=limt→∞e(t)=s→0limsE(s)=s→0lims[R(s)−C(s)]

5.3 系统型别与稳态误差

又因为系统开环传递函数总可以表示为尾一标准型：G(s)H(s)=K∏i=1m(τis+1)sν∏j=1n−ν(Tjs+1)=KsνG0(s)H0(s)G(s)H(s)=\frac{K\prod_{i=1}^m (\tau_is+1)}{s^\nu\prod_{j=1}^{n-\nu}(T_js+1)}=\frac{K}{s^\nu}G_0(s)H_0(s)G(s)H(s)=sν∏j=1n−ν(Tjs+1)K∏i=1m(τis+1)=sνKG0(s)H0(s)并有：lim⁡s→0G0(s)H0(s)=1\lim_{s \to 0} G_0(s)H_0(s) = 1s→0limG0(s)H0(s)=1所以：ess=lim⁡s→0sE(s)=lim⁡s→0sR(s)1+G(s)H(s)=lim⁡s→0sν+1R(s)sν+KG0(s)H0(s)=lim⁡s→0sν+1R(s)sν+Ke_{ss}=\lim_{s \to 0}sE(s)=\lim_{s \to 0}\frac{sR(s)}{1+G(s)H(s)}=\lim_{s \to 0}\frac{s^{\nu+1}R(s)}{s^\nu+KG_0(s)H_0(s)}=\lim_{s \to 0}\frac{s^{\nu+1}R(s)}{s^\nu+K}ess=s→0limsE(s)=s→0lim1+G(s)H(s)sR(s)=s→0limsν+KG0(s)H0(s)sν+1R(s)=s→0limsν+Ksν+1R(s)
KKK是开环增益，规定 ν\nuν 的值就是系统的型别，也就是系统含有积分环节的个数。

于是可以得出一些结论：

型别	输入信号	稳态误差
0型系统	阶跃输入 Rs\frac{R}{s}sR	R1+K\frac{R}{1+K}1+KR
1型系统	阶跃输入 Rs\frac{R}{s}sR	000
2型系统	阶跃输入 Rs\frac{R}{s}sR	000
0型系统	斜坡输入 Rs2\frac{R}{s^2}s2R	∞\infty∞
1型系统	斜坡输入 Rs2\frac{R}{s^2}s2R	RK\frac{R}{K}KR
2型系统	斜坡输入 Rs2\frac{R}{s^2}s2R	000
0型系统	加速度输入 Rs3\frac{R}{s^3}s3R	∞\infty∞
1型系统	加速度输入 Rs3\frac{R}{s^3}s3R	∞\infty∞
2型系统	加速度输入 Rs3\frac{R}{s^3}s3R	RK\frac{R}{K}KR

5.4 稳态误差的意义

稳态误差描述了系统的稳态性能，反映系统跟随信号的准确性。稳态误差为0，说明系统稳态无误差，稳态误差越大，说明跟随误差越大。工程中，往往希望稳态误差在一定范围内（注：并非任何情况下都是越小越好，比如电机系统要求必须存在一定的误差才能使得输出不为0，从而使得电机持续转动），过大的稳态误差往往对系统是不利的。

5.5 减小稳态误差的方法

1. 增大系统的开环增益或者扰动作用前的增益
这相当于是一种相对方法，增大开环增益或者扰动前的增益，则扰动通道增益相对值就减小了，从而弱化扰动通道的影响，而开环增益的增大，使得系统有足够大的输出，从而减小稳态误差。但过大的增益往往也会导致系统超调量增大，严重时会导致系统不稳定。
2. 在前向通道或者主反馈通道设置串联积分环节
积分环节可以使得输出不仅包含当前的输入，还包含了从以前系统输入输出的全部历史值，这也是积分调节器的设计思想。
3. 采用前馈补偿
前馈补偿可以对输出值进行补偿，从而减小输出值与输入值的差值，使得输出的跟随性能提高。

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