连续系统如何转化为离散系统----Z 变换

今天跟大家分享连续系统转化为离散系统的方法之-- z变换。z变换主要研究如何将连续系统传递函数G(s) 转化为离散传递函数 G(z)。再简单一点，找到一个s和z的关系，直接将G(s)中的s全部替换为z便大功告成。不足纰漏之处，大家多多批评指正。

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线性连续系统的表达方法之一便是传递函数，用 s 表示微分

线性离散系统的表达方法之一也是传递函数，用 Z表示差分

注意 ，，以此类推，有了(2)式也就有了差分方程，离散化结束。

第一次划重点， 连续系统传递函数(1)中的基本单元是s，离散系统传递函数(2)中基本单元是 z。离散化便是找到一个s和z的对应关系，然后将s替换成z即可。

直接上结论，常用三种对应关系：

1.前项差分变换   (T为采样间隔)

2.后项差分变换 (T为采样间隔)

3.Tustin 变换 (常用方法) (T为采样间隔)

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举个例子：对下面连续传递函数离散化，用前项差分法为：

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第二次敲重点， 有没有记忆三种变换的方法呢？有！

首先要记住(此处由定义获得)。还记得泰勒展开吗？因为采样时间较小，Ts近似为零， 可得(高次项略去)

等等，这不就是上边第一个蓝色公式么--前项差分变换！  进一步做点变换

再等等，这不就是上边第二个蓝色公式么--后项差分变换！！我在变

有没有很神奇? 这不就是上边第三个蓝色公式么--Tustin变换！！

所以，三种变换你记住了么？休息十分钟。

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人生经验告诉我们，当我们面临多项选择时，总会面临烦恼：我要选谁？(单身汪:谁选我？)

上述三个变换，我要选谁？

请回忆前两期文章

为保证稳定条件的对应，我们希望，通过z变换，所有具有负实部的s变换成z后，z 都呆在单位圆内. 所以，三种变换的对应关系请见下图(此处为盗图)。Tustin做到了这一点， 请优先选他！

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想进一步了解三种变换怎么来的吗？请继续往下看。公式较多，但是很简单，希望能帮助记忆！

为找到s和z的对应关系，只需研究下边简单系统(4)

方法一、欧拉前项差分。

用前项差分代替微分，即

其中，T为采样间隔。进而可得

比较(4)和(6)可得

方法二、欧拉后项差分。

用前项差分代替微分，即

进而可得

比较(4)和(9)可得

至此，第二个近似关系建立！

方法三、 Tustin 变换

这里用一个平均代替微分，即

进而可得

比较(4)和(13)可得

下篇介绍：如何将连续系统状态空间方程离散化？