最小采样频率计算公式_离散系统、Z变换和最小拍控制的理解与总结

离散系统、Z变换和最小拍控制的理解与总结

先注：离散系统用差分方程来表达，频域变换为Z变换

连续系统用微分方程来表达，频域变换为s变换

从采样信号说起：

如图所示：

在数学即为：采样信号（脉冲采样）的时移或频域位移特性，用物理理解即为：用高频开关进行采样时，只有基波信号和与采样频率ws有关的高频谐波。如果用理想滤波器进行滤除，即可得到原来的连续信号的复现（但是必须满足采样定理，否则基频信号与开关谐波信号频谱重叠）。

在物理实现上，多用零阶保持器进行滤波，基本满足要求，但是由零阶保持器的频谱分析可得：它对基频原本信号也有衰减，且在开关频率的附近会出现高频谐波的引入，并非理想滤波器。如下图所示：

以上为采样离散系统的基本知识，虽然简单，但是初次认识（从连续到离散的跳跃）还是有一定难度。

Z变换：来源于S变换的离散系统下，将超越形式的S变换转换为有理代数形式，z=

就好办多了。注意：不论是在s域还是z域，都是离散系统，即使可以通过求和级数写成有理函数形式，仍然不能忘了这是离散求和系统。F（z）=

, f(nTs)代表采样时刻的信号幅值，而

代表拍数或者采样脉冲时刻。还需要注意的是在LTI系统下：离散系统的卷积和和连续系统的卷积，本质是激励对响应的线性齐次和叠加性，对时域的系统模态和脉冲传递函数很大帮助理解（Z变换的具体求法我在这里不作过多阐述）。

离散系统：离散系统对应脉冲传递函数（类似：连续系统对应传函），时域的卷积对应频域的乘积。

。脉冲传函的求法：由于一般给出的是连续型对象的传函，在离散开关采样系统必须转换为z变换的脉冲传函——先将连续系统传函转换到时域（拉氏反变换），再求采样离散系统的加权序列，最后进行z变换即可（一般有对应查表，不需要如此繁琐的计算）

计算机控制技术课程——关于数字离散系统的最少拍系统设计原则的本质思考：数字离散系统中，D(z)和G(z)必须满足稳定性、物理可实现以及相应的约束条件：

D(z)的约束：（1）稳定性，极点均在单位圆内；（2）物理可实现，没有z的正幂次项

G(z)的约束：（1）无延迟环节（零阶保持器的延时除外）；（2）无不稳定零极点；

D(z)约束为离散系统控制器的所有必要约束（至于为什么我还没想明白），而G(z)约束是为了在最小拍设计下同时满足D(z)约束而存在的。

我们来看看这是为什么：首先几个量：离散系统控制器D(z)，广义离散控制对象G(z)，系统的闭环脉冲传函Φ(z)，以及闭环误差脉冲传函Φe(z)。

。D(z)与 G(z)相互耦合，由于D(z)的必要约束，因此G(z)必须没有不稳定零极点和延时环节，否则无法达到最少拍，必须通过Φ(z)和Φe(z)的增设不稳定零点来消除G(z)的不稳定零极点以满足D(z)，但付出的代价是拍数增加。因此我们通过设计Φ(z)来完成稳定下的最小拍的实现。

接下来我们来具体分析最少拍（有纹波和无纹波）系统设计：

1、离散系统有可能在有限时间内完成过渡过程达到稳态，从而实现时间最优控制：

（1）无穷大稳定度（极点z趋于零，对应复频域s趋于负无穷），若离散系统闭环脉冲传函的极点全部在z平面的原点，则系统具有无穷大稳定度。

（2）无穷大稳定度的离散系统，是瞬态过程最短的，也就是时间最优的最小拍系统。

证明：

为闭环脉冲传函特征方程；

当无穷大稳定度，a1=a2=…=an=0，

特征方程变为

；

则闭环脉冲传函就变成：

若m=n-1，d0=0；m=n-2，d0=d1=0；以此类推；故能在n拍达到稳定状态，

可见无穷大稳定度系统的阶次，决定了过渡过程的拍数。

未完待续。。。

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